НОУ ИНТУИТ | Моделирование систем. Лекция 1: Моделирование многофазных систем массового обслуживания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 30.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Цель работы: практически освоить методы моделирования двухфазных и трехфазных систем массового обслуживания с нулевой вместимостью блоков ожидания в программных средах MATLAB и GPSS/PC с целью получения операционных характеристик.

Ключевые слова: анализ, очередь, ПО, поток требований, пуассоновское распределение, вероятности перехода, обыкновенное дифференциальное уравнение, линейным дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение, Единичная матрица, моделирование, GPSS, параметр, матрица, коэффициентами системы, вероятность отказа, относительная пропускная способность, вероятность отказа в обслуживании, эффективная частота, абсолютная пропускная способность, полное время, среднее время блокировки, среднее время обработки, среднее число требований, финальная вероятность

Теоретическая часть

Анализ многофазных систем массового обслуживания основан на теоретическом материале, взятом из [20].

Система массового обслуживания может представляться в виде много-фазной модели, когда каждое требование в ней последовательно обслуживается во всех фазах (приборах обслуживания). При этом если очереди перед каждой фазой не допускаются, то система будет называться системой с нулевой вместимостью блоков ожидания [20].

Работа двухфазной системы обслуживания состоит в следующем. Каждая фаза может быть занята на обслуживание либо свободна. Поскольку перед фазой очередь не допускается, то принимается, что первая фаза обслуживания заблокирована, если обслуживание требования в данной (первой) фазе завершено, а вторая фаза не готова к приему требования по той причине, что в ней не закончено обслуживание. Принимается также, что если первая фаза занята, то очередное входящее требование получает отказ. В системе могут быть следующие состояния: "фаза свободна", "фаза занята", "фаза заблокирована", которые обозначают как , , соответственно.

1. Двухфазная система обслуживания

Схема двухфазной системы обслуживания показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Модель двухфазной системы обслуживания

Если состояние первой фазы обозначить символом , а состояние второй фазы — символом , то множество состояний двухфазной системы обслуживания будет следующим:

$\{(i, j)\} = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (b,1)\}.$

( 1.1)

Примем, что входной поток требований имеет пуассоновское распределение, а обслуживание в фазах осуществляется по экспоненциальному вероятностному закону. Рассматривая вероятности переходов из одного состояния в другое во времени, можно получить следующие дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний $p_{ij}(t)$ двухфазной системы:

$\frac{dp_{00}(t)}{dt}=-\lambda p_{00}(t)+\mu p_{01}(t)\\ \frac{dp_{01}(t)}{dt}=-(\mu+\lambda) p_{01}(t)+\mu p_{10}(t)+\mu p_{b1}(t)\\ \frac{dp_{10}(t)}{dt}=\lambda p_{00}(t)-\mu p_{10}(t)+\mu p_{11}(t)\\ \frac{dp_{11}(t)}{dt}=\lambda p_{01}(t)-2\mu p_{11}(t)\\ \frac{dp_{b1}(t)}{dt}=\mu p_{11}(t)-\mu p_{b1}(t)$

( 1.2)

Система (1.2) — это система однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее можно представить в матричном виде:

$\frac{dP(t)}{dt}=AP(t),$

где:

P(t) — вектор размера $5\times 1$ с элементами $p_{00}(t)$ , $p_{01}(t)$ , $p_{10}(t)$ , $p_{11}(t)$ , $p_{b1}(t)$ ;

— матрица коэффициентов размера $5\times 5$ , которая имеет следующий вид:

$A= \left[ \begin{array}{ccccc} -\lambda & \mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -(\mu+\lambda) & \mu & 0 & \mu \\ \lambda & 0 & -\mu & \mu & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & -2\mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & -\mu \\ \end{array} \right]$

Для интегрирования системы (1.2) будем задавать естественные начальные условия, т. е. такие, когда в начальный момент времени, равный нулю, вероятность отсутствия требований в системе равна единице, а остальные вероятности в начальный момент времени равны нулю:

$p_{00}(0)=1,\qquad p_{01}(0)=p_{10}(0)=p_{11}(0)=p_{b1}(0)=0$

( 1.3)

2. Трехфазная система обслуживания

В трехфазной системе каждая из фаз может быть свободной (символ ) либо занятой (символ ), а фазы 1 и 2 могут быть к тому же заблокированы (символ ). Если состояние первой фазы обозначить символом , состояние второй фазы — символом , а состояние третьей фазы — символом , то возможные состояния трехфазной системы будут следующими:

$\{(i,j,k)\}= \left\{ \begin{array}{cccccc} (0,0,0) & (1,0,0) & (0,1,0) & (0,0,1) & (1,0,1) & (1,1,1) \\ (1,1,0) & (b,1,0) & (1,b,1) & (b,b,1) & (b,1,1) & (0,b,1) \end{array} \right\}$

( 1.4)

В соответствии с возможными состояниями (1.4) трехфазной системы можно получить следующую систему дифференциальных уравнений 13-го порядка относительно вероятностей состояний $p_{ijk}(t)$ :

$\frac{dp_{000}(t)}{dt}=-\lambda p_{000}(t)+\mu p_{001}(t),\\ \frac{dp_{100}(t)}{dt}=\lambda p_{000}(t)-\mu p_{100}(t)+\mu p_{101}(t),\\ \frac{dp_{010}(t)}{dt}=\mu p_{100}(t)-(\lambda+\mu) p_{010}(t)+\mu p_{011}(t),\\ \frac{dp_{001}(t)}{dt}=\mu p_{010}(t)-(\lambda+\mu) p_{001}(t)+\mu p_{0b1}(t),\\ \frac{dp_{101}(t)}{dt}=\lambda p_{001}(t)-2\mu p_{101}(t)+\mu p_{110}(t)+\mu p_{1b1}(t),\\ \frac{dp_{011}(t)}{dt}=\mu p_{101}(t)-(\lambda+2\mu) p_{011}(t)+\mu p_{b10}(t)+\mu p_{bb1}(t),\\ \frac{dp_{111}(t)}{dt}=\lambda p_{011}(t)-3\mu p_{111}(t),\\ \frac{dp_{110}(t)}{dt}=\lambda p_{010}(t)+\mu p_{111}(t)-2\mu p_{110}(t),\\ \frac{dp_{b10}(t)}{dt}=\mu p_{110}(t)-\mu p_{b10}(t)+\mu p_{b11}(t),\\ \frac{dp_{1b1}(t)}{dt}=\mu p_{111}(t)-2\mu p_{1b1}(t)+\lambda p_{0b1}(t),\\ \frac{dp_{bb1}(t)}{dt}=\mu p_{1b1}(t)-\mu p_{bb1}(t)+\mu p_{b11}(t),\\ \frac{dp_{b11}(t)}{dt}=\mu p_{111}(t)-2\mu p_{b11}(t),\\ \frac{dp_{0b1}(t)}{dt}=\mu p_{011}(t)-(\lambda+\mu) p_{0b1}(t).\\$

( 1.5)

Система (1.5) — это система обыкновенных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее также можно представить в матричном виде:

$\frac{dP(t)}{dt}=AP(t),$

где:

P(t) — вектор состояний системы 13-го порядка;

— матрица постоянных коэффициентов размера $13\times 13$ .

Для решения системы (1.5) будем использовать естественные начальные условия, т. е.

$p_{000}(0)=1,\qquad\forall p_{ijk}(0)=0,\qquad i=0,1,b,\qquad j=0,1,b,\qquad k=0,1,b.$

( 1.6)

Отметим также, что система линейных дифференциальных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее характеристический определитель будет равен нулю. В матричном виде получаем так называемое характеристическое уравнение

( 1.7)

где:

— единичная матрица того же размера, что и матрица коэффициентов ;

— скалярная в общем случае комплексная переменная, относительно которой решается характеристическое уравнение.

Если действительная часть корней характеристического уравнения (1.7) будет отрицательной, то решение системы дифференциальных уравнений (1.5) с начальными условиями (1.6) будет устойчивым, т. е. будет стремиться к установившимся значениям.

Таким образом, система дифференциальных уравнений (1.5) с начальными условиями (1.6) представляет собой математическую модель трехфазной системы массового обслуживания с нулевой вместимостью блоков ожидания.

Схема трехфазной системы обслуживания показана на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Модель трехфазной системы обслуживания

Дальше >>

Моделирование систем

Моделирование систем