Методы генерации признаков

11.3. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Преобразования типа Карунена-Лоева есть результат специальной обработки (оптимизации) применительно к конкретной выборке требует больших вычислительных затрат. Если разложить по некоторому заданному базису, то можно снизить затраты, правда снизив требования к разложению.

11.3.1. Одномерное дискретное преобразование Фурье

Пусть – исходных измерений. Тогда ДПФ определяется следующим образом:

Обратное преобразование есть:

Определим

Тогда

Пусть , тогда ,

Утверждается, что – унитарная симметрическая матрица. Пусть – сопряженная матрица: . Тогда базисные вектора – это столбцы матрицы . Таким образом, имеет место разложение по заданному базису (по определению – разложение по базисным векторам).

Прямое вычисление или имеет сложность , однако, специфика структуры матрицы позволяет строить алгоритмы сложности .

ДПФ можно рассматривать как разложение последовательности в множество базисных последовательностей :

11.3.2. Двумерные ДПФ

Пусть – двумерные измерения. Тогда двумерное ДПФ есть:

Данную запись компактно можно переписать в следующем виде:

Данное преобразование – это преобразование с базисными матрицами или образами . Число требуемых операций "в лоб" равно . Учитывая специфическую структуру , существуют методы сложности .

11.3.3. Дискретное косинусное преобразование (ДКП)

Данное преобразование имеет вид:

Его можно переписать в векторной форме: , где

Двумерное ДПФ определяется так

11.3.4. Дискретное синусное преобразования (ДСП)

Данное преобразование вычисляется аналогично косинусному через матрицу:

Вычислительная сложность затрат на ДКП и ДСП есть .

ДКП и ДСП обладают хорошими "упаковочными" свойствами для большинства изображений в том смысле, что концентрируют основную информацию в небольшом числе коэффициентов. Объясняется это тем, что оба они дают хорошее приближение для большого класса реальных образов, моделируемых случайных сигналов, известные как Марковский процесс 1-ого порядка.