Классические и квантовые коды
Анионы (иллюстративный пример на основе торического кода).
На примере торического кода можно дать более точное представление об анионных системах, о которых говорилось во введении.
Итак, вновь рассмотрим квадратную сетку на торе (а можно и на плоскости — сейчас нас будет интересовать только ее центральная часть). Как и раньше, для каждой вершины и каждой грани
рассмотрим проверочные операторы
![A^{(x)}_s=\prod_{j\in\,\mathrm {\text {звезда}}(s)}^{} \sigma^x_j, \quad A^{(z)}_u=\prod_{j\in\,\mathrm {\text {граница}}(u)}^{} \sigma^z_j.](/sites/default/files/tex_cache/1dc24982416839fcc58ec13185baa5b1.png)
![A^{(x)}_s\ket\xi=\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/11ef33f38659e1fec13c39e39ae61636.png)
![A^{(z)}_u\ket\xi=\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/dfae72e69356a9319d6f841a69775fbe.png)
![H=\sum_{s}(I-A^{(x)}_s)+\sum_{u}(I-A^{(z)}_u).](/sites/default/files/tex_cache/3deb48bd4690bd7f824d87b18b6ffa2b.png)
Рассмотрим возбужденные состояния с наименьшей ненулевой энергией, когда нарушено ровно два условия (например, вершинных). (Число нарушенных условий каждого типа четное, поскольку .) Тогда для двух вершин, в которых кодовые условия нарушаются, выполнено
![A^{(x)}_s\ket\eta=-\ket\eta, \quad A^{(x)}_p\ket\eta=-\ket\eta.](/sites/default/files/tex_cache/9483bbe1d80947606abf610b12fdc42c.png)
![\ket\eta](/sites/default/files/tex_cache/c9a8e2ef0c6dad80c78196f70ce54807.png)
![\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/952e5e4a1bd40f619937839b9b14a5bf.png)
![p](/sites/default/files/tex_cache/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![s](/sites/default/files/tex_cache/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![C_1](/sites/default/files/tex_cache/4fa71d007c094ac3c858919aec515277.png)
![\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/952e5e4a1bd40f619937839b9b14a5bf.png)
![W=\prod_{j\in C_1}^{}\sz_j](/sites/default/files/tex_cache/c9ac641ad0473f41fe5127d2f64c9012.png)
![C_1](/sites/default/files/tex_cache/4fa71d007c094ac3c858919aec515277.png)
![WA^{(x)}_s=-A^{(x)}_s W](/sites/default/files/tex_cache/98f67f5edc358b75cd2fda37b909c1e2.png)
![\ket\eta=W\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/9ddddd2262bd2ce37207f288fca035a0.png)
![\ket\eta](/sites/default/files/tex_cache/c9a8e2ef0c6dad80c78196f70ce54807.png)
![s](/sites/default/files/tex_cache/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![p](/sites/default/files/tex_cache/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![\ket\eta=W\ket\xi =WA^{(x)}_s\ket\xi=-A^{(x)}_s W\ket\xi=-A^{(x)}_s\ket\eta](/sites/default/files/tex_cache/84690d311249ea3598f5235e1649c839.png)
![A^{(x)}_s\ket\xi=\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/11ef33f38659e1fec13c39e39ae61636.png)
![\ket\xi](/sites/default/files/tex_cache/952e5e4a1bd40f619937839b9b14a5bf.png)
Любое состояние системы можно построить из элементарных возбуждений двух типов, одни из которых "живут" на вершинах, другие — на гранях. Элементарное возбуждение — это просто нарушенное кодовое условие, но теперь мы думаем о нем как о частице. Частицы-возбуждения можно двигать, создавать и уничтожать. Пара возбуждений первого типа получается из основного (кодового) состояния действием оператора , приведенного выше; пара возбуждений второго типа — действием оператора
, где
— путь, соединяющий две грани, как показано на рис. 14.3a). Как и раньше проверяется, что
.
Что случится, если двигать возбуждение одного типа (крестик) вокруг возбуждения второго типа (кружочка)? (См. рис. 14.3б).) Движение возбуждения описывается оператором , зависящим от контура обхода
(здесь
пробегает все грани внутри
). Очевидно, что
для всех
. В результате мы получим
![\ket\psi\mapsto \prod_{j\in C'}^{}\sx_j\ket\psi = A^{(x)}_p\ket\psi = -\ket\psi.](/sites/default/files/tex_cache/581a96304cfb27fbc69af0f2262c03eb.png)
![-1](/sites/default/files/tex_cache/6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.png)
На торе можно двигать частицы по двум различным циклам, образующим базис в группе гомологий. Например, можно создать из основного состояния пару возбуждений одного типа, обнести одно из возбуждений по циклу и проаннигилировать со вторым возбуждением. Этот процесс описывается некоторым оператором, действующим на кодовом подпространстве, — произведением вдоль пути на решетке, либо
вдоль пути на двойственной решетке. Поскольку существует два типа возбуждений, мы имеем 4 таких оператора:
и
соответствуют одному базисному циклу, а
и
— другому. Эти операторы действуют на два закодированных q-бита как
(
), потому что они обладают такими же коммутационными соотношениями:
(остальные пары коммутируют).