НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 14: Классические и квантовые коды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Симплектические (стабилизирующие) коды [26]

Это аналог классических линейных кодов. Квантовые симплектические коды устроены так же, только вместо контрольных сумм будут использоваться $\sigma$ -операторы ( $\,\sigma(\alpha_1,\beta_1,\dots,\alpha_n,\beta_n)$ в предыдущих обозначениях).

Зададим, например, таким способом код Шора. Для него $\calN=\BB^{\otimes r^2}$ , $\dim\calM=2$ . Кодовое подпространство порождено двумя векторами, см. (14.11).

Каким условиям удовлетворяют базисные векторы $\calM$ ?

Для любых выполнено $\sigma^z_{jl} \sigma^z_{j(l+1)}\ket\xi=\ket\xi$ , т.е. каждая строка состоит из повторений одного бита.
Для любого выполнено $\prod_{l}^{}\left(\sigma^x_{jl} \sigma^x_{(j+1)l}\right)\ket\xi=\ket\xi$ . Что означает это условие? Оператор $\prod_{l}\left(\sigma^x_{jl}\sigma^x_{(j+1)l}\right)$ переводит
$\text{базисный вектор } {\def\arraystretch{0.9} \Bigg|\!\text{\footnotesize \begin{array}{l@{\;}c@{\;}l} \hdotsfor{3}\\ y_j&\dots&y_j\\ y_{j+1}&\dots&y_{j+1}\\ \hdotsfor{3} \end{array}}\!\Bigg\rangle \text{ в вектор } \Bigg|\!\text{\footnotesize \begin {array}{l@{\;}c@{\;}l} \hdotsfor{3}\\ y_j\oplus1&\dots&y_j\oplus1\\ y_{j+1}\oplus1&\dots&y_{j+1}\oplus1\\ \hdotsfor{3} \end{array}}\!\Bigg\rangle}$
(остальные строки не меняются). Эти два вектора должны входить в $\ket\xi$ с одинаковыми коэффициентами.

Утверждение 14.4. Если $\ket\xi$ удовлетворяет условиям 1 и 2, то $\ket\xi\double=c_0\ket\xi_0+c_1\ket\xi_0$ .

Прежде чем перейти к изучению более общих симплектических кодов, рассмотрим подробнее свойства $\sigma$ -операторов.

Как уже говорилось, $\sigma$ -операторы удобно индексировать элементами группы $G=\left(\ZZ_2\right)^2$ . Будем обозначать мультииндекс $\sigma$ -оператора через $\gamma=(\alpha_1,\beta_1,\dots,\alpha_n,\beta_n)\in G^n$ .

$\sigma$ -операторы образуют базис в $\LL(\BB^{\otimes n})$ , более того, есть естественная G^n -градуировка:

$\LL(\BB^{\otimes n})=\bigoplus_{\gamma\in G^n} \CC\big(\sigma(\gamma)\big).$

Для $\sigma$ -операторов выполнены следующие соотношения

$\sigma(\gamma_1)\sigma(\gamma_2)=(-i)^{\tilde\omega(\gamma_1,\gamma_2)} \sigma(\gamma_1+\gamma_2)= (-1)^{\omega(\gamma_1,\gamma_2)}\sigma(\gamma_2)\sigma(\gamma_1),$

где

$\begin{multiline} \tilde\omega(\alpha^{\mathstrut}_1,\beta^{\mathstrut}_1,\dots, \alpha^{\mathstrut}_n,\beta^{\mathstrut}_n; \alpha'_1,\beta'_1,\dots,\alpha'_n,\beta'_n ) =\sum_{j=1}^{n}(\alpha^{\phantom{'}}_j\beta'_j -\alpha'_j\beta^{\phantom{'}}_j)\bmod 4,\\ \omega(\gamma_1,\gamma_2)=\tilde\omega(\gamma_1,\gamma_2)\bmod 2. \end{multiline} {\looseness=1\tolerance=400$

Рассмотрим унитарные преобразования — действия унитарных операторов $X\mapsto UXU^\dagger$ . Такое действие не меняется при домножении на число, равное по модулю единице, поэтому группа унитарных преобразований имеет вид $UT(\BB^{\otimes n})=\U(\BB^{\otimes n})/\U(1)$ . Отметим, что унитарные преобразования — это в точности автоморфизмы -алгебры $\LL(\BB^{\otimes n})$ .

Нас интересуют такие преобразования, для которых $U\sigma(\gamma)U^\dagger \double=\sigma(u(\gamma))\cdot c(\gamma)$ ( $u\colon G^n\to G^n$ — некоторая функция). Оператор $U\sigma(\gamma)U^\dagger$ эрмитов, поэтому $c(\gamma)=\pm 1$ , то есть мы можем написать

$\begin{equation}\label{симплект-преобр} U\sigma(\gamma)U^\dagger = (-1)^{v(\gamma)}\, \sigma(u(\gamma)),\qquad u\colon G^n\to G^n,\quad\, v\colon G^n\to\ZZ_2. \end{equation}$

( 14.14)

Группа таких преобразований называется расширенной симплектической группой и обозначается $\ESp_2(n)$ . Операторы из этой группы будем называть симплектическими. Приведем примеры.

$\sigma$ -операторы. $\sigma(f)\sigma(\gamma)\sigma(f)^\dagger = \sigma(f)\sigma(\gamma)\sigma(f)=(-1)^{\omega(f,\gamma)}\sigma(\gamma)$ . В данном случае $u(\gamma)=\gamma$ .
Оператор $H=\frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{*2 r} 1&1\\ 1&-1\end{array}\rightp$ . Непосредственно проверяется, что $H\sx H=\sz,\quad H\sz H=\sx,\quad H\sy H=-\sy$ . Таким образом, преобразование $H\cdot H^\dagger\in \ESp_2(1)$ .

Можно показать, что $|\ESp_2(1)|=24$ . Если учитывать фазовые множители, то получилась бы группа Клиффорда из $24\cdot8=192$ элементов.

Основные свойства введенного отображения $u\colon G^n\to G^n$ таковы:

линейно на .
сохраняет форму $\omega$ , т.е. $\omega(u(f),u(g))=\omega(f,g)$ .

Отображения с такими свойствами, как известно, называются симплектическими; они образуют симплектическую группу $\Sp_2(n)$ . Таким образом, определен гомоморфизм $\theta\colon \ESp_2(n)\to \Sp_2(n)$ .

Теорема 14.3. $\Im\theta =\Sp_2(n)$ , $\Ker\theta= G^n$ (ядро состоит из $\sigma$ -операторов). Таким образом, $\ESp_2(n)/G^n\double\cong\Sp_2(n)$ .

Для понимания доказательства желательно знать что-нибудь про расширения и когомологии групп [15]. Читателю, незнакомому с этими понятиями, будет предложен "обходной путь" (см. ниже).

Доказательство. Преобразование (14.14) должно быть автоморфизмом -алгебры $\LL(\BB^{\otimes n})$ . Это имеет место тогда и только тогда, когда сохраняются правила умножения операторов $\sigma(\gamma)$ . Это означает, что функция обладает указанными свойствами, а удовлетворяет уравнению

$\begin{equation}\label{кограница} v(x+y)-v(x)-v(y)=w(x,y), \end{equation}$

( 14.15)

где $w(x,y)=\frac{\tilde\omega(u(x),u(y))-\tilde\omega(x,y)}{2}\in\ZZ_2$ .

В случае, когда — тождественное отображение, правая часть уравнения (14.15) равна нулю. Решениями являются все линейные функции. Это доказывает, что $\Ker\theta= G^n$ .

Утверждение $\Im\theta=\Sp_2(n)$ равносильно тому, что уравнение (14.15) имеет решение при любом из $\Sp_2(n)$ . Чтобы доказать это, заметим, что функция обладает следующими свойствами:

$w(y,z)-w(x+y,\,z)+w(x,\,y+z)-w(x,y) = 0,$

( 14.16)

( 14.17)

( 14.18)

Формула (14.16) — это уравнение коцикла. Оно означает, что функция задает структуру группы на декартовом произведении множеств $G^n\times\ZZ^2$ согласно правилу $(x,p)\cdot(y,q)=(x+y,\,p+q+w(x,y))$ . Полученная группа (обозначим ее ) является расширением G^n посредством $\ZZ_2$ , т.е. определен гомоморфизм $\lambda\colon E\to G^n$ , $\lambda\colon(x,p)\mapsto x$ с ядром $\ZZ_2$ .

Уравнение (14.17) означает, что группа абелева. Наконец, уравнение (14.18) означает, что все элементы группы имеют порядок (или ). Следовательно, $E\cong(\ZZ_2)^{2n+1}$ . Отсюда вытекает, что расширение $E\to G^n$ тривиально: существует гомоморфизм $\mu\colon G^n\to E$ , такой что $\lambda\mu={\rm id}_{G^n}$ . Записывая этот гомоморфизм в виде $\mu\colon x\mapsto(x,\,v(x))$ , получаем решение уравнения (14.15).

Существует другой, несколько кустарный способ доказать, что $\Im\theta =\Sp_2(n)$ . Рассмотрим следующие симплектические преобразования: $(H\cdot H^\dagger)[j]$ , $(K\cdot K^\dagger)[j]$ и $\left(\Lambda(\sx)\cdot\Lambda^\dagger(\sx)\right)[j,k]$ . (Напомним, что $K=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\ii\end{pmatrix}$ ). Их образы при гомоморфизме $\theta$ порождают всю группу $\Sp_2(n)$ . (Намек на доказательство: любую пару векторов $\gamma_1,\gamma_2\in G^n$ , такую что $\omega(\gamma_1,\gamma_2)=1$ , можно перевести этими преобразованиями в (1,0 , $0,0,\dots)$ и $(0,1,0,0,\dots)$ .) На самом деле, таким способом можно получить и другой интересный результат. Указанные элементы группы $\ESp_2(n)$ порождают все матрицы Паули, т.е. ядро гомоморфизма $\theta$ . Следовательно, верно такое утверждение.

Утверждение 14.5. Группа $\ESp_2(n)$ порождается элементами

$(H\cdot H^\dagger)[j],\ (K\cdot K^\dagger)[j],\ \left(\Lambda(\sx)\cdot\Lambda^\dagger(\sx)\right)[j,k].$

Для примера посмотрим на действие оператора $U= \Lambda(\sx)[1,2]$ . По определению имеем $U \ket{a,b}=\ket{a,a\oplus b}$ . Действие на образующие алгебры $\LL(\BB^{\otimes 2})$ :

$\begin{align*} U\sz_1U^\dagger&=\sz_1,\\ U\sz_2U^\dagger&=\sz_1\sz_2,\\ U\sx_2U^\dagger&=\sx_2,\\ U\sx_1U^\dagger&=\sx_1\sx_2. \end{align*}$

Приведенные равенства можно без труда проверить прямым вычислением. Однако полезно привести объяснение на "пальцах". Оператор $\sz$ можно понимать как измерение значения соответствующего q-бита. Первые два равенства просто показывают, как меняются эти значения при замене базиса, задаваемой

. Третье равенство показывает, что изменение значения второго q-бита коммутирует с заменой базиса

. Четвертое — что изменение значения первого q-бита при неизменном втором бите в повернутом базисе означает одновременное изменение значений обоих q-битов в исходном базисе.

Дадим теперь определение симплектического кода. В пространстве $\calN=\BB^{\otimes n}$ мы выделим подпространство $\calM$ условиями $X_j\ket\xi=\ket\xi$ ( X_j будем называть проверочными операторами ). Проверочные операторы будут иметь вид

$\begin{equation}\label{проверочные} X_j=(-1)^{\phi_j}\sigma(f_j), \quad f_j\in G^n, \quad \phi_j\in\ZZ_2. \end{equation}$

( 14.19)

Без ограничения общности можно считать, что $\{f_j\}$ линейно независимы. Потребуем еще, чтобы все операторы X_j

коммутировали. Поскольку $X_jX_k=(-1)^{\omega(f_j,f_k)}X_kX_j$ , условие коммутирования означает, что $\omega(f_j,f_k) =0$ .

Определение 14.9. Симплектический квантовый код задается условиями (14.19), где все X_j коммутируют.

Итак, симплектическому квантовому коду соответствует изотропное подпространство $F\subseteq G^n$ ; изотропность означает, что для любых $f,\,g\in F$ выполнено $\omega(f,g)=0$ . Поэтому размерность симплектического кода легко вычисляется.

Теорема 14.4. $\dim\calM=2^{n-\dim F}$ .

Лемма 14.6. Любой симплектический код приводится преобразованиями из $\ESp_2(n)$ к стандартному виду, когда проверочными операторами являются $\sigma^z[1],\dots,\sigma^z[s]$ , где $s=\dim F$ .

Доказательство. Подпространство $F\subseteq G^n$ можно перевести отображением из $\Sp_2(n)$ в подпространство , состоящее из векторов вида $(0,\beta_1,0,\beta_2,\dots,0,\beta_s,0,\dots,0)$ , где $\beta_j$ — произвольные. Согласно теореме 14.3, этому отображению соответствует некоторое унитарное преобразование $U\cdot U^\dagger$ . Оно переводит кодовое подпространство в подпространство, заданное проверочными операторами $\pm\sigma^z[j]$ ( $j=1,\dots,s$ ). Применяя дополнительное преобразование вида $\sigma(f)\cdot\sigma(f)^\dagger$ , все знаки можно сделать плюсами.

Теперь посмотрим, какие ошибки способен обнаруживать симплектический код. Напомним, что код обнаруживает ошибки из $\calE(n,k)$ , если

$\begin{equation}\label{замечаетошибку} \forall\, \ket\xi,\ket\eta\in\calM\:\forall\, Z\in\calE(n,k)\: \langle\xi |Z|\eta\rangle =c(Z)\langle \xi|\eta\rangle \end{equation}$

( 14.20)

По соображениям линейности достаточно рассматривать лишь $Z\double=\sigma(g)$ , $|g|\leq k$ .

Пусть $\ket\eta\in\calM$ , т.е. $X_j\ket\eta=\ket\eta$ для всех , где $X_j=(-1)^{\phi_j}\sigma(f_j)$ . Обозначим $Z\ket\eta=\ket\psi$ , где $Z=\sigma(g)$ . Как мы сейчас увидим, вектор $\ket\psi$ является собственным для всех проверочных операторов X_j , поэтому он либо принадлежит кодовому подпространству $\calM$ , либо ему ортогонален. Подействуем проверочным оператором на $\ket\psi$ :

$\begin{align*} X_j\ket\psi=X_jZ\ket\eta= (-1)^{\omega(f_j,g)}ZX_j\ket\eta=(-1)^{\omega(f_j,g)}Z\ket\eta=\\= (-1)^{\omega(f_j,g)}\ket\psi. \end{align*}$

Условие $\ket\psi\in\calM$ равносильно условию $\omega(f_j,g)=0$ для всех . Такие образуют линейное подпространство, которое мы обозначим F_+ , т.е. $F_+\double=\{ g\in G^n: \forall\,f\in F\:\omega(f,g)=0\}$ .

Возможны следующие три случая:

$g\not\in F_+$ . При этом $\ket\psi\perp\calM$ , поэтому $\langle\xi|\sigma(g)|\eta\rangle =0$ . Такую ошибку код обнаружит.
$g\in F$ . Такая ошибка фактически неотличима от тождественного оператора, так как она не меняет кодового вектора $\ket\eta$ (с точностью до фазового множителя). Пусть $g=a_1f_1+\ldots+a_sf_s$ , тогда $\sigma(g)=c(g) X_1^{a_1}\cdot\ldots\cdot X_s^{a_s}$ , где $c(g)\double=\pm 1,\pm\ii$ . В этом случае $\langle \xi|\sigma(g)|\eta\rangle \double=с(g)\langle \xi|\eta\rangle$ — условие (14.20) выполнено.
$g\in F_+\setminus F$ . В этом случае (проверьте!) $\langle \xi|\sigma(g)|\eta\rangle$ не имеет вида $c(g)\langle \xi|\eta\rangle$ . Такую ошибку код не обнаруживает.

Этими рассуждениями доказана следующая теорема.

Теорема 14.5. Кодовое расстояние для симплектического кода $\calM$

$d(\calM)=\min\{|f|: f\in F_+\setminus F\}.$

Заметим отличие от классических линейных кодов. Там кодовое расстояние определяется как наименьшая норма вектора из подпространства с выкинутым нулем. А у симплектических кодов нуль раздувается до подпространства.

Задача 14.4. Постройте симплектический квантовый код типа (5,1) , исправляющий одну ошибку.

Задача 14.5. Докажите, что не существует квантового кода типа (4,1) , исправляющего одну ошибку.

Дальше >>

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые коды

Симплектические (стабилизирующие) коды [26]

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые коды

Симплектические (стабилизирующие) коды [26]

Вопросы и ответы

Студенты