Распределение информации и устойчивость решений

Несимметричное распределение информации и устойчивость по Штакельбергу

Примем, что производитель (P₂) адаптирует свое поведение к условиям рынка значительно быстрее, чем изменяется поведение потребителя (P₂). Т.е. производитель успевает максимизировать прибыль по параметру B столь быстро, что при этом стратегию p_max потребителя можно считать неизменной. Принятое допущение можно интерпретировать как фиксирование последовательности действий сторон. Первый ход делает потребитель, выбирая стратегию x=p_max, а затем свой ход делает производитель, что позволяет ему выбирать стратегию y=B как функцию известного значения x=p_max.

При сделанных предположениях производитель имеет возможность использовать стратегию-функцию y^*(x)=B^*(p_max), максимизирующую его критерий-прибыль из 4.15, т.е. обеспечивающую выполнение условия

Все возможные при таком поведении стратегические пары необходимо удовлетворяют равенству (4.22), поскольку оно определяет значение параметра B, доставляющее максимум критерию M₂ при заданном значении параметра p_max. Следовательно, выбор потребителем стратегии x=p_max определяет конкретную точку вида (4.24), которая лежит на нижней кривой, изображенной на рис.1.10. При этом потребитель заинтересован в выборе стратегии x^*, которой соответствует точка указанной кривой, характеризуемая максимальным (на кривой) значением критерия M₁ из (4.14). Т.е.

Определение 1.6 ( равновесие по Штакельбергу ). Пара стратегий (x^*,y^*(x^*)), удовлетворяющая условиям (4.23) и (4.25), называется стратегической точкой равновесия по Штакельбергу . ^{7{См., например, работу: Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.}.}

Определим точку равновесия по Штакельбергу в рассматриваемом примере. Как следует из (4.22) (с учетом введенных обозначений x=p_max и y=B ),

Далее, из (4.14) и (4.16) вытекает, что

причем производная по x от этой величины обращается в ноль при Поскольку вторая производная от величины (4.27) в точке (4.28) является отрицательной, то значение из правой части (4.28) обеспечивает максимум критерия (4.27). Следовательно, согласно (4.26) и (4.28), точка с координатами соответствует ситуации равновесия по Штакельбергу (см. рис.1.10). При этом, как следует из (4.27) и (4.28),

В заключение сравним решение (4.29) с точкой

отмеченной темным кружком на рис.1.10. Согласно (4.16) и (4.17), этой точке соответствуют значения где D^* и соответственно из (4.30) и (4.31). Как следует из (4.33) и (4.34), устойчивая по Штакельбергу точка (4.29) не является эффективным решением, поскольку ее превосходит неустойчивое решение, определяемое точкой (4.32).