Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Метод прямоугольников

Словесный алгоритм метода прямоугольников:

1. Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
2. Определяем значение y_i подынтегральной функции f(x) в каждой части деления, т.е.
   
3. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом степени n = 0, т.е. прямой, параллельной оси OX. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией.
4. Для каждой части деления определяем площадь S_i частичного прямоугольника.
5. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных прямоугольников.

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в левых концах каждого шага, то метод называется методом левых прямоугольников (рис.12.3). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рис. 12.3. Метод левых прямоугольников

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в правых концах каждого шага, то метод называется методом правых прямоугольников (рис.12.4). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рис. 12.4. Метод правых прямоугольников

Точность каждого метода прямоугольников имеет порядок h.

Алгоритм вычисления интеграла построим в виде итерационного процесса поиска с автоматическим выбором шага. На каждом шаге будем уменьшать шаг в два раза, то есть увеличивать число шагов n в два раза. Выход из процесса поиска организуем по точности вычисления интеграла. Начальное число шагов n=2.Схема алгоритма методов прямоугольников представлена на рис.12.5.

Рис. 12.5. Схема алгоритма метода прямоугольников (с автоматическим выбором шага)

Условные обозначения:

a,b - концы интервала,

- заданная точность,

с=0 - метод левых прямоугольников,

с=1 - метод правых прямоугольников,

S1 - значение интеграла на предыдущем шаге,

S - значение интеграла на текущем шаге.