НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 9: Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

20.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $L \subset \mathbb Z ^n$ - решетка с базисом $b_1,\dots, b_n$ и предположим, что задано положительное число $B\ge2$ , такое, что для любого вектора b_i из исходного базиса решетки выполняется неравенство $|b_i|^2 \leq B$ . Тогда алгоритм построения редуцированного базиса, описанный выше, требует для своего выполнения $O(n^4\log B)$ арифметических операций над целыми числами, двоичная длина которых представляет $O(n\log B)$ . Таким образом, для построения редуцированного базиса достаточно $O(n^6\log^3B)$ бинарных операций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перед началом работы алгоритма величины d_i , определенные формулами (20.12) удовлетворяют неравенству $d_i\leq B^i$ , что легко следует из упражнения 20.2. Таким образом, перед началом работы алгоритма $D \leq B^{n(n-1)/2}$ . Из определения легко следует, что в случае, когда $L \subset \mathbb Z ^n$ , - неотрицательное целое число, которое не может обратиться в нуль, в силу линейной независимости векторов, составляющих базис решетки. Таким образом, $D\ge1$ во все время работы алгоритма. Выше отмечалось, что при перестановках элементов базиса, выполняемых алгоритмом построения редуцированного базиса, величина убывает не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем 3/4, следовательно, таких перестановок выполняется $O(\log B^{n(n-1)/2}) = O(n^2\log B)$ . Мы оценили, таким образом, сколько раз в головной программе, в цикле "пока" встречается ситуация "то" в условии "если". Из доказательства конечности времени работы алгоритма следует, что ситуация "иначе" встречается также $O(n^2 \log B)$ раз. Итак, тело цикла в основном алгоритме выполняется $O(n^2 \log B)$ раз. Внутренний цикл в ситуации "иначе" дает еще один множитель для алгоритма A35, который выполняется таким образом $O(n^3\log B)$ раз. Переходим теперь к оценке сложности отдельных предписаний алгоритма A33.

В предписании "начальная-установка" два вложенных цикла дают O(n^2) повторений тела цикла, в котором встречаются векторные операции: скалярное произведение векторов, умножение вектора на число, вычитание векторов, что дает еще один множитель . При этом арифметические операции выполняются над рациональными числами. Сложность выполнения операций над этими числами оценим несколько позже.

Количество арифметических операций в алгоритме A35, как легко видеть, равно O(n) , такое же количество операций в алгоритме A36. Сравнивая количество проходов через отдельные ветви алгоритма, получаем, что количество арифметических операций в алгоритме представляется величиной $O(n^4\log B)$ , что и утверждалось в первой части предложения.

Оценим теперь сложность выполнения арифметических операций, выполняемых над рациональными числами в процессе работы алгоритма A33. Прежде всего, опишем множество значений, которые могут принимать знаменатели всех встречающихся во время вычислений рациональных чисел. Покажем, что в качестве знаменателей всех встречающихся чисел могут быть использованы только числа d_i , вычисляемые по формулам (20.12), а именно:

$| b_i^*| ^2&= \frac{d_i}{d_{i-1 }},& &(1 \leq i \leq n),$

( 20.13)

$d_{i-1 }b_i^* &\in L \subset \mathbb Z ^n,& &(1 \leq i \leq n),$

( 20.14)

$d_j\mu _{ij }&\in \mathbb Z , &&(1 \leq j < i \leq n).$

( 20.15)

Первое из этих соотношений следует из упражнения 20.2.

Для доказательства второго соотношения выразим векторы b_i^* с неопределенными коэффициентами $y_{ij }$ через исходный базис:

$\begin{equation*} b_i^* = b_i - \sum\limits _{j=1 }^{i-1}y_{ij } b_j . \end{equation*}$

Неизвестные коэффициенты с фиксированным первым индексом определяются из системы линейных уравнений

$\begin{equation*}\label{20.16} (b_i ,b_l ) = \sum\limits _{j=1 }^{i-1}y_{ij }(b_j ,b_l ) \end{equation*}$

( 20.16)

Решая систему (20.16) методом Крамера, воспользовавшись формулой (20.12) получаем, что $d_{i-1 }y_{ij }\in \mathbb Z$ для всех допустимых значений индексов. Отсюда уже вытекает соотношение (20.14).

Воспользовавшись соотношениями (19.2), (20.13) и (20.14), получаем цепочку равенств

$\begin{align*} d_j \mu _{ij }&= d_j \frac{(b_i ,b_j^*)}{(b_j^*,b_j^*)}= d_{j-1 }(b_i ,b_j^*) =(b_i ,d_{j-1 }b_j^*) \in Z, \end{align*}$

чем заканчивается доказательство соотношения (20.15).

Посмотрим теперь, как меняются величины d_i в процессе работы алгоритма. В начале работы алгоритма они вычисляются по формулам (20.12). В процессе работы эти величины меняются только при перестановке элементов базиса (в алгоритме A36 ). В этом случае $d_{k-1 }$ заменяется (в обозначениях (20.1)-(20.5)) на

$d_{k-1 } \cdot\frac{| c_{k-1 }^* | ^2}{| b_{k-1 }^* | ^2} = d_{k-2 } \cdot | c_{k-1}^* | ^2,$

значения

при $i\neq k-1$ не меняются. При этом все значения d_i

остаются целыми и во все время работы алгоритма удовлетворяют неравенствам $d_i^i \leq B$ . Таким образом, мы оценили множество чисел, которые могут появляться в вычислениях в качестве знаменателей.

Для оценки числителей достаточно найти верхнюю грань для величин |b_i^*|^2 , |b_i|^2 и $|\mu_{ij}|$ . Первая из этих величин оценивается просто: в начале работы алгоритма выполняются неравенства $| b_i^*| ^2 \leq | b_i | ^2 \leq B$ . В процессе работы величина $\max\{ | b_i^*|^2: 1 \leq i \leq n\}$ не возрастает, для доказательства чего достаточно заметить, что изменение векторов b_i^* происходит только при перестановке элементов базиса, при этом выполняются неравенства $| c_{k-1 }^*|^2<\frac34 | b_{k-1 }^* | ^2$ и $| c_k^*| ^2 \leq | b_{k-1 }^*| ^2$ , поскольку c_k^* - проекция вектора $b_{k-1 }^*$ . Таким образом, во все время работы алгоритма $| b_k^*| ^2 \leq B$ . Оценка величин | b_i | ^2 и $\mu _{ij}$ существенно сложнее. Чтобы получить ее, докажем, что всякий раз в точке проверки условия окончания цикла "пока" выполняются следующие неравенства:

$|b_i|^2 &\leq nB &&\text{ для } i \neq k;$

( 20.17)

$|b_k|^2 &\leq n^2(4B)^n, && \text{ если }k \neq n+1;$

( 20.18)

$|\mu_{ij}|&\leq 1/2 &&\text{ для } 1 \leq j < i < k;\\$

( 20.19)

$|\mu_{ij}|&\leq(nB^j)^{1/2} &&\text{ для } 1\leq j<i,\ i > k;$

( 20.20)

$|\mu_{kj}|&\leq2^{n-k}(nB^{n-1})^{1/2} &&\text{ для } 1\leq j<k, \text{ если } k \neq n+1.$

( 20.21)

При доказательстве этих неравенств пользуемся следующим соотношением:

$\begin{equation} \mu _{ij }^2 \leq \frac{|b_i|^2}{|b_j^*|^2} =\frac{d_{j-1 }| b_i |^2}{d_j} \leq B^{j-1}| b_i | ^2. \end{equation}$

( 20.22)

Перед первым выполнением тела цикла неравенства (20.17) и (20.18) следуют из неравенства $|b_i|^2\leq B$ , которое выполняется по определению . Вместе с (20.22) это неравенство дает соотношение $| \mu _{ij } | \leq B^{j/2}$ , откуда следует (20.19) и (20.20), а учитывая, что B 2 , и (20.21). Таким образом, перед первым выполнением тела цикла неравенства (20.17)-(20.21) справедливы.

Предположим теперь, что неравенства (20.17)-(20.21) выполнены перед началом выполнения тела цикла, и покажем, что эти неравенства будут выполнены и в конце тела цикла, т.е. перед выполнением следующего цикла. Неравенство (20.19) совпадает с (19.4), которое выполняется для текущего все время работы алгоритма A33, в том числе и в начале цикла. Выполнение неравенства (20.17) для i < k следует из соотношений (19.1), (20.19) и неравенства | b_i^*| ^2 < B . Покажем, что из (20.17) для i>k и из неравенства (20.21) следуют неравенства (20.18) и (20.20). Доказательство (20.18) сводится к разложению b_k в сумму по формуле (19.1), применению неравенства (20.21) и вычислению суммы геометрической прогрессии. Неравенство (20.20) непосредственно вытекает из (20.22) и (20.17).

Итак, покажем, что если перед началом выполнения тела цикла справедливы неравенства (20.17)-(20.21), то и после его выполнения неравенства (20.17) и (20.21) также имеют место. Отдельно рассмотрим два случая: работа алгоритма осуществляется по ветви "то", т.е. два вектора меняются местами; второй случай - алгоритм идет на ветвь "иначе", т.е. осуществляется выполнение условия (19.4) для всех j < k .

В первом случае множество векторов $\{ b_i :i< k\}$ не изменилось (мы поменяли местами -ый вектор с (k-1) -ым и уменьшили после этого на 1). Во втором случае множество $\{ b_i: i>k\}$ векторов, для которых нам нужно доказать неравенство (20.17), заменилось на собственное его подмножество. Этим заканчивается индуктивный шаг для неравенства (20.17).

Переходим к оценке $\mu _{kj }$ (если $k \neq n+1$ ). Снова в теле цикла может выполняться одна из двух серий команд, причем в конце каждой серии значение переменной меняется, либо увеличиваясь, либо уменьшаясь на 1. Значение увеличивается, когда алгоритм идет по второй ветви, т.е. достигается выполнение условия (19.4) для всех j < k (отдельно, до цикла достигается это условие для j=k-1 , в цикле - для j < k-1 ). Эти операции никак не влияют на $\mu _{ij}$ , если i > k , в частности, при i=k+1 . На следующем шаге значение увеличивается на 1, и неравенства (20.21) следуют из (20.20), которые выполняются на предыдущем этапе.

Значение уменьшается на 1, если в теле цикла выполняется перестановка векторов, при этом после ее выполнения новые значения коэффициентов $\mu _{kj}$ совпадают со старыми значениями (с учетом замены на k-1 ). Остается только проследить, как изменилось значение коэффициентов $\mu _{kj }$ , когда до перестановки векторов мы добивались выполнения условия (19.4) для $\mu _{k\,k-1 }$ . При этом к -ой строке матрицы $\mu$ прибавлялась ( k-1 )-я строка, умноженная на , где $| r| < 2| \mu _{k\,k-1 }|$ . Учитывая, что $| \mu _{k-1\,j }| < 1/2$ , получаем

$\begin{multiline} | \mu _{kj }- r \mu _{k-1\,j }| \leq | \mu_{kj }| + | \mu _{k\,k-1 }| \leq \\ \text{(по индуктивному предположению)} \\ \leq 2^{n-k+1}(nB^{n-1})^{1/2}. \end{multiline}$

( 20.23)

Поскольку новое значение на 1 меньше старого, получаем требуемую формулу, доказательство неравенств (20.17)-(20.21) закончено.

Для завершения доказательства предложения 20.4 нам осталось только оценить значения, получающиеся на промежуточных этапах алгоритма. Заметим, что при выполнении алгоритма A35 значения коэффициентов $\mu$ не более, чем удваиваются. Поскольку в одном теле основного цикла алгоритм A35 выполняется не более, чем k-1 раз, то

$| \mu _{ij }| \leq 2^{n-1}(nB^{n-1})^{1/2}\text{ для } j < k-1,$

откуда, воспользовавшись формулами (19.1), ортогональностью векторов b_i^* , неравенствами | b_i^*|
< B получаем неравенства $| b_i | ^2 \leq n^2(4B)^n$ для $1\leq i\leq n$ . Остается перемножить границы для знаменателей и для абсолютных величин, прологарифмировать и выделить главную часть, чтобы получить оценки, фигурирующие в предложении 20.4.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Вопросы и ответы

Студенты