Интерполяция функций

6.3. Интерполяция обобщенными полиномами

Для того чтобы функция ( обобщенный полином )

была интерполирующей, необходимо выполнение условий: F(t_k) = f_k, где f_k — значения функции в точках интерполяции. Для коэффициентов обобщенного полинома получаем систему уравнений:

или в векторной форме

где

Теорема (доказывается в курсе линейной алгебры.) Для того чтобы решение задачи интерполяции существовало и было единственным, необходимо и достаточно, чтобы система базисных функций была линейно независима.

Теорема (доказывается в курсе линейной алгебры.) Для того чтобы система функций была линейной независимой в точках t₀, ..., t_n, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Грама

был отличен от нуля. Здесь каждый элемент матрицы Грама имеет вид

В случае, если система функций ортогональна на множестве точек решение задачи интерполяции значительно упрощается (напомним, что система функций является ортогональной на множестве точек если при и при k = j для всех k = 0, 1, ..., N ; j = 0, 1, ..., n ).

Дело в том, что матрица Грама для ортогональной системы функций диагональна, и ее определитель отличен от нуля (всякая ортогональная система функций заведомо линейно независима). Линейная система уравнений представляется как или где - вектор, а ее решение в случае есть

Примером ортогональной системы являются показательные функции на множестве точек t_j = {j / N}, j = 0, 1, ..., N (на отрезке [0, 1] ).

6.4. Полиномиальная (алгебраическая) интерполяция

В этом случае (u_k(t) = t^k) СЛАУ для определения коэффициентов имеет вид

а ее определитель

отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Это известный из курса линейной алгебры определитель Вандермонда.

Ответ на вопрос о существовании и единственности решения СЛАУ оказывается — утвердительным - решение задачи алгебраической интерполяции всегда существует и единственно, но при больших N система оказывается плохо обусловленной. Однако решение этой задачи можно выписать в явном виде

где

- базисные функции, являющиеся полиномами степени N, каждый из которых сопоставлен со своим узлом сетки так, что Заметим, что правильнее было бы писать L_N(t, {t_n}, {f_n}), т.е. интерполянт зависит от t, сетки и сеточной функции. Такой вид записи алгебраического интерполяционного полинома не единственен. Выписанный полином называется интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. Он удобен для теоретического рассмотрения, но на практике часто оказывается более удобной другая форма представления — полином в форме Ньютона, о котором речь пойдет ниже.