НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 3: Геометрические преобразования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Системы координат и геометрические преобразования (параллельный перенос, масштабирование, вращение). Задание геометрических преобразований с помощью матриц. Конгруэнтные преобразования. Переход в другую систему координат. Задача вращения относительно произвольной оси

Ключевые слова: операции, длина, система координат, расстояние, отрезок, вектор, коллинеарность, координаты, равенство, коэффициенты, разложение вектора, базисными векторами, базис, единичный вектор, Произведение, запись, векторное произведение, антисимметричность, прямой, параметр, плоскость, выражение, множитель, значение, направляющий вектор, очередь, место, функция, представление, Окружность, пересечение, табличном задании функции, интерполяция, площадь, определитель, таблица, матрица, транспонирование, размерность, Радиус-вектор, бесконечное множество, радиус, объект, орт, связь, умножение

Системы координат и векторы

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из аналитической геометрии и линейной алгебры. Не ставя перед собой задачу подробного рассмотрения всех этих вопросов, приведем (или напомним) те основные понятия и операции, которые используются в алгоритмах компьютерной графики.

Две взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат. Эти оси также называют координатными осями.

Возьмем произвольную точку на плоскости с заданной системой координат. Пусть M_x и M_y - проекции этой точки на оси абсцисс и ординат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна , а длина OM_y равна . Тогда пара чисел (x,y) называется декартовыми координатами точки на плоскости ( абсциссой и ординатой точки).

Три взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Так же как и в случае плоскости, точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую - осью OY, или осью ординат, третью - осью OZ, или осью аппликат.

Пусть M_x , M_y и M_z - проекции произвольной точки в пространстве на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна , длина OM_y равна , а длина OM_z равна . Тогда тройка чисел x,y,z называется декартовыми координатами точки в пространстве ( абсциссой, ординатой и аппликатой точки).

Рис. 3.1. Система координат на плоскости

Рис. 3.2. Система координат в пространстве

Пусть на плоскости задана декартова система координат. Возьмем две точки с координатами (x_1, y_1) и (x_2, y_2) соответственно. Тогда, используя теорему Пифагора, можно получить, что расстояние между этими двумя точками выражается формулой

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2) выражается аналогичной формулой:

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

Отрезок на плоскости и в пространстве задается с помощью двух точек, указывающих его границы. Геометрическим вектором, или просто вектором в пространстве, будем называть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом (т.е. указано направление вектора). Начало вектора называют точкой его приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы считаются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, все векторы, получающиеся параллельным переносом из одного и того же вектора, равны мeжду собой. Любая точка на плоскости и в пространстве может рассматриваться как вектор, начало которого совпадает с началом координат ( радиус-вектор ), а каждый вектор, перенесенный в начало координат, задает своим концом единственную точку пространства. Поэтому любой вектор может быть представлен совокупностью своих координат в декартовой системе.

Линейными операциями над векторами принято называть операции сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Суммой двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется вектор, идущий из начала вектора $\overrightarrow{a}$ в конец вектора $\overrightarrow{b}$ , при условии, что вектор $\overrightarrow{b}$ приложен к концу вектора $\overrightarrow{a}$ .

Перечислим основные свойства операции сложения векторов:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ .
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ .
Существует нулевой вектор $\overrightarrow{0}$ , такой, что $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$ для любого вектора $\overrightarrow{a}$ .
Для каждого вектора $\overrightarrow{a}$ существует противоположный ему вектор $\overrightarrow{a}'$ , такой, что $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}'=\overrightarrow{0}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$ , который в сумме с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$ .

Произведением $\alpha\overrightarrow{a}$ вектора $\overrightarrow{a}$ на число $\alpha$ называется вектор $\overrightarrow{b}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ , имеющий длину $|\alpha|\cdot|\overrightarrow{a}|$ и направление, совпадающее с направлением вектора $\overrightarrow{a}$ при $\alpha>0$ и противоположное направлению $\overrightarrow{a}$ при $\alpha<0$ . Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что длина вектора увеличивается в $|\alpha|$ раз.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

$\alpha(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\alpha\overrightarrow{a}+\alpha\overrightarrow{b}$ (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);
$(\alpha+\beta)\overrightarrow{a}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{a}$ (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
$(\alpha\beta)\overrightarrow{a}=\alpha(\beta\overrightarrow{a})$ (сочетательное свойство числовых сомножителей);
если вектор $\overrightarrow{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\overrightarrow{a}$ , то существует вещественное число $\beta$ , такое, что $\overrightarrow{b}=\beta\overrightarrow{a}$ .