Последовательности (деревья)

Представления

Почти все машинные представления деревьев основаны на связанных распределениях. Каждый узел состоит из поля и нескольких полей для указателей. Например, представление, которое будет удобным для изложения множества и мультимножества, для каждого узла имеет единственное поле для указателя , указывающего на отца данного узла. При этом приведенное на рис. 4.1 дерево будет выглядеть так, как показано на рис. 4.5. Такое представление полезно, если необходимо подниматься по дереву от потомков к предкам. Такая операция встречается довольно редко. Чаще требуется опуститься по дереву от предков к потомкам.

Представление дерева (или леса) с использованием указателей, ведущих от предков к потомкам, довольно сложно, поскольку узел, имея не более чем одного отца, может в то же время иметь произвольно много сыновей. Другими словами, при таком представлении узлы должны различаться по размеру, что является определенным неудобством. Один из путей обхода этой трудности состоит в том, чтобы определить соответствие между деревьями и бинарными деревьями, поскольку бинарные деревья легко представить узлами фиксированного размера.

Рис. 4.5.

Каждый узел в этом случае имеет три поля: , указатель местоположения корня левого поддерева, , содержимое узла, и , указатель местоположения корня правого поддерева. Все сказанное выше проиллюстрировано на рис. 4.6.

Рис. 4.6.

Можно представлять деревья как бинарные, используя узлы фиксированного размера, представляя каждый узел леса в виде узла, состоящего из полей , , . При этом предназначается для указания самого левого сына данного узла, а поле - для указания следующего брата данного дочернего/сыновнего узла.

Прохождения

Во многих приложениях необходимо пройти лес, заходя в узлы, то есть обрабатывая их некоторым систематическим образом. Посещение каждого узла может быть связано с простой операцией, такой как печать содержимого, или со сложной, такой как вычисление функции. Будем предполагать, что при посещении узла структура леса не меняется. Рассмотрим четыре основных способа прохождения леса: в глубину, снизу вверх, в горизонтальном порядке и для бинарных деревьев - в симметричном порядке.

При прохождении в глубину, известном также как прохождение в прямом порядке, узлы леса проходятся в соответствии со следующей рекурсивной процедурой:

1. Посетить корень первого дерева.
2. пройти в глубину поддерева первого дерева (если оно есть).
3. Пройти в глубину оставшиеся деревья, если они есть.

Например, для леса, показанного на рис. 4.7, узлы будут проходиться в следующем порядке: .

Рис. 4.7. Лес

Название "в глубину" отражает тот факт, что после посещения некоторого узла мы продолжаем прохождение в глубь дерева всякий раз, когда это возможно. Такой порядок особенно полезен в процедурах поиска.

Для бинарных деревьев эта процедура упрощается и выглядит следующим образом.

1. Посетить корень.
2. Пройти в глубину левое поддерево
3. Пройти в глубину правое поддерево.

Прохождение снизу вверх, известное также как обратный порядок или концевой порядок, осуществляется согласно следующей рекурсивной процедуре:

• Пройти снизу вверх поддеревья первого дерева, если они есть.
• Посетить корень первого дерева.
• Пройти снизу вверх оставшиеся деревья, если они есть.

Название "снизу вверх" связано с тем, что в момент посещения произвольного узла его потомки оказываются уже пройденными. Такой порядок прохождения полезен, в частности, потому, что он позволяет вычислять рекурсивно определенные функции на лесах. При этом порядке прохождения узлы леса, показанного на рис. 4.7, проходятся в такой последовательности: . Рекурсивная процедура прохождения снизу вверх применительно к бинарным деревьям имеет следующий вид:

1. Пройти снизу вверх левое дерево.
2. Пройти снизу вверх правое дерево.
3. Посетить корень.

Симметричный порядок для бинарных деревьев определяется рекурсивно следующим образом:

1. Пройти в симметричном порядке левое поддерево.
2. Посетить корень.
3. Пройти в симметричном порядке правое поддерево.

Такой способ прохождения известен также как лексикографический порядок или внутренний порядок. Заметим, что прохождение леса снизу вверх эквивалентно прохождению в симметричном порядке бинарного дерева, соответствующего этому лесу (при естественном соответствии).

Сравнивая рекурсивные процедуры прохождения бинарных деревьев в глубину, снизу вверх и в симметричном порядке, можно обнаружить их значительное сходство:

Это сходство позволяет построить общий нерекурсивный алгоритм, который может быть применен к каждому из этих порядков прохождения бинарных деревьев.

Горизонтальный порядок прохождения. При таком способе узлы леса проходятся слева направо, уровень за уровнем от корня вниз. Таким образом, в соответствии с этой процедурой узлы леса, показанного на рис.4.7, будут проходиться в следующем порядке: . Такое прохождение дерева полезно в определенных алгоритмах на графах.