Россия, Санкт-Петербург |
Последовательности (деревья)
Деревья
Конечное корневое дерево формально определяется как непустое множество упорядоченных узлов, таких, что существует один выделенный узел, называемый корнем дерева, а оставшиеся узлы разбиты на поддеревьев . Будем рассматривать только корневые деревья. Узлы, не имеющие поддеревьев, называются листьями ; остальные узлы называются внутренними узлами.
В первой лекции уже было использовано дерево - при изучении необходимого числа взвешиваний в задаче о фальшивой монете с монетами. Так "рано" деревья появились в тексте не случайно, поскольку понятие дерева используется в различных важных аспектах данного курса. Посредством деревьев изображаются иерархические организации, поэтому они являются наиболее важными нелинейными структурами в комбинаторных алгоритмах.
В описании соотношений между узлами дерева используем терминологию, принятую в генеалогических деревьях. Так, говорят, что в дереве или поддереве все узлы являются потомками его корня, и наоборот, корень есть предок всех своих потомков. Корень именуют отцом корней его поддеревьев, которые в свою очередь будут сыновьями корня. Например, на рис. 4.1 узел является отцом узлов и ; - сыновья , а - братья.
Все рассматриваемые нами деревья будут упорядочены, то есть для них будет важен относительный порядок поддеревьев каждого узла. Таким образом, деревья считаются различными.
Определим лес как упорядоченное множество деревьев; в связи с этим можно перефразировать определение дерева: дерево есть непустое множество узлов, такое, что существует один выделенный узел, называемый корнем дерева, а оставшиеся узлы образуют лес с поддеревьями корня. Важной разновидностью корневых деревьев является класс бинарных деревьев. Бинарное дерево либо пустое, либо состоит из выделенного узла, называемого корнем, и двух бинарных поддеревьев: левого и правого . Бинарные деревья не являются подмножеством множества деревьев, они полностью отличаются по своей структуре, поскольку два следующих рисунка не изображают одно и то же бинарное дерево.
Как деревья, однако, они не отличаются от дерева, изображенного на рис. 4.4.
Различие между деревом и бинарным деревом состоит в том, что дерево не может быть пустым, а каждый узел дерева может иметь произвольное число поддеревьев; в то же время, бинарное дерево может быть пустым. Каждая из вершин бинарного дерева может иметь 0, 1 или 2 поддерева, и существует различие между левым и правым поддеревьями.