НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 13: Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

Сведение решения матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования

Подставляя (12.5) в (12.8) и учитывая (12.9), устанавливаем справедливость следующих неравенств:

$(\forall w \ge 0_n) (\forall u \ge 0_m)\quad (c^T, w) - u^{\ast T}A w \le 0 \le (b^T, u) - u^T Aw^\ast.$

( 12.10)

Приняв, что цены на продукцию всех типов и запасы сырья всех видов являются единичными, т.е.

$c_j = 1,\ 1 \le j \le n,\qquad b_i=1,\ 1 \le i \le m,$

( 12.11)

приводим (12.10) к виду:

$(w_1 + \ldots w_n) - u^{\ast T} Aw \le 0 \le (u_1 + \ldots u_m) - u^T A w^\ast.$

( 12.12)

Введя нормированные переменные

$\begin{gathered} x_i = u_i / (u_1 + \ldots u_m),\quad 1 \le i \le m,\\ y_j = w_j / (w_1 + \ldots w_m),\quad 1 \le j \le n, \end{gathered}$

( 12.13)

и составленные из них векторы-столбцы

$x = (x_1 \dots x_m)^T,\qquad y = (y_1\dots y_n)^T,$

перепишем (12.12) как

$1 - u^{\ast T} Ay \le 0 \le 1 - x^T A w^\ast,$

или

$x^T A w^\ast \le 1 \le u^{\ast T} A y.$

( 12.14)

При этом предполагается, что суммы из знаменателей правых частей равенств в (12.13) являются положительными. Это допущение не противоречит условиям $w \ge 0_n$ , $u \ge 0_m$ из (12.10). Таким образом,

$\begin{gathered} x_i \ge 0,\ 1 \le i \le m,\qquad x_1 + \ldots + x_m = 1,\\ y_j \ge 0,\ 1 \le j \le n,\qquad y_1 + \ldots + y_n = 1, \end{gathered}$

или (11.15))

$x \in S_m,\quad y \in S_n.$

( 12.15)

Предположим, что общее значение минимакса и максимина ядра, указанное в (12.9), является положительным. Обозначим обратное ему число через v, т.е.

$\begin{gathered} (c^T, w^\ast) = w_1^\ast + \ldots + w_n^\ast = v^{-1} > 0,\\ (b^T, u^\ast) = u_1^\ast + \ldots + u_n^\ast = v^{-1} > 0. \end{gathered}$

( 12.16)

Заметим, что эти записи учитывают также условия (12.11). Теперь из (12.13) и (12.16) следует, что

$\begin{gathered} x_i^\ast = u_i^\ast / (u_1^\ast + \ldots + u_m^\ast) = v u_i^\ast,\qquad 1 \le i \le m,\\ y_j^\ast = w_j^\ast / (w_1^\ast + \ldots + w_m^\ast) = v w_j^\ast,\qquad 1 \le j \le n. \end{gathered}$

( 12.17)

Умножая (12.14) на положительное число v, используя обозначения (12.17) и учитывая (12.15), выводим справедливость отношений

$(\forall x \in S_m)(\forall y \in S_n) \quad x^T Ay^\ast\le v\le x^{\ast T}Ay,$

( 12.18)

$v = x^{\ast T} A y^\ast.$

( 12.19)

Из (11.19) и (12.18), (12.19) следует, что пара (x^*,y^*) является равновесной (по Нэшу) в смешанном расширении конечной антагонистической игры с матрицей A. При этом введенное выше положительное число v оказывается ценой этой игры в смешанных стратегиях.

Рассмотрим произвольную $m\times n$ матрицу A с коэффициентами a_ij, $1\le i\le m$ , $1\le j \le n$ , и сопоставим ей вспомогательную $m\times n$ матрицу C с положительными коэффициентами

$c_{ij} = a_{ij} + a > 0,\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n,$

( 12.20)

$a > |\min\{a_{ij}\colon 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n\}| \ge 0.\notag$

Линейная программа вида (12.1) при единичных коэффициентах из (12.11) заведомо имеет решение. Действительно, условия $Cw\le b$ , имеющие вид

$c_{i1} w_1 + \ldots + c_{in} w_n \le 1,\ 1 \le i \le m,\qquad w_j \ge 0,\ 1 \le j \le n,$

( 12.21)

определяют непустую область в Rⁿ, поскольку вектор w=0_n удовлетворяет этим условиям. В указанной области линейная форма (c^T,w) оказывается ограниченной сверху, ибо, согласно (12.21),

$w_1 + \ldots + w_n \le 1/c_{i1} + \ldots 1/c_{in},\ 1 \le i \le m.$

Таким образом, для линейной программы с матрицей

неравенства вида (12.8) и вытекающие из них отношения

$\begin{gathered} (\forall x \in S_m) (\forall y \in S_n) \quad x^T C y^\ast \le v_c \le x^{\ast T}Cy,\\ v_c = x^{\ast T} C y^\ast, \end{gathered}$

аналогичные утверждениям (12.18), (12.19), являются справедливыми при любой заданной матрице A.

Лемма 2.2. Антагонистическая игра с ядром (11.18), соответствующим произвольной $m\times n$ матрице и связанная с ней антагонистическая игра с ядром

( 12.22)

соответствующим вспомогательной матрице C из (10.20), имеют одно и то же множество ситуаций равновесия. При этом

где v_c есть цена смешанного расширения игры с матрицей C, а v - цена смешанного расширения игры с матрицей A.

Доказательство. Как следует из (11.15), (11.18) и (12.20), (12.22)

$M_c (x,y) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_{ij} + a) x_i y_j = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j + a = M(x,y) + a,$

где M(x,y) есть ядро смешанного расширения антагонистической игры с матрицей A. При этом

( 12.23)

Следовательно, справедливость отношений

$(\forall x \in S_m) (\forall y \in S_n)\ M_c (x,y^\ast) \le M_c (x^\ast, y^\ast) \le M_c (x^\ast, y)$

( 12.24)

для игры с матрицей C влечет справедливость аналогичных отношений (11.19) для игры с матрицей A, ибо последние выводятся из (12.24) путем вычитания числа a из всех частей содержащихся в (12.24) неравенств. Доказательство леммы завершается выводом равенства

$v_c = M_c(x^\ast, y^\ast) = M (x^\ast, y^\ast) + a = v + a,$

( 12.25)

вытекающего из (12.23).

Итак, мы установили, что при любой $m\times n$ матрице A смешанное расширение антагонистической игры с вспомогательной матрицей C из (12.20) всегда имеет равновесное решение (x^*,y^*), которое является равновесным решением также и для исходной антагонистической игры. Таким образом, мы установили справедливость следующей теоремы.

Теорема 2.3. Матричная игра с произвольной $m\times n$ матрицей A всегда имеет ситуацию равновесия (по Нэшу) в смешанных стратегиях $x^\ast \in S_m$ , $y^\ast \in S_n$ , которые могут быть определены из решения (u^*,w^*) следующей пары двойственных задач линейного программирования

$\begin{gathered} u_1 + \ldots + u_m \to \min\\ u_1 \ge 0,\ldots, u_m \ge 0,\\ (a_{1j} \!+\! a) u_1 \!+\! \ldots \!+\! (a_{mj} \!+\! a)u_m \ge 1,\\ 1 \le j \le n, \end{gathered}\quad \begin{gathered} w_1 + \ldots + w_n \to \max\\ w_1 \ge 0\dots w_n \ge 0,\\ (a_{i1} \!+\! a)w_1 \!+\! \ldots \!+\! (a_{in} \!+\! a)w_n \le 1\\ 1 \le i \le m, \end{gathered}$

где a из (12.20). При этом

$\begin{gathered} x^\ast = v u^\ast,\quad y^\ast = v w^\ast,\\ v = (u_1^\ast + \ldots + u_m^\ast)^{-1} = (w_1^\ast + \ldots w_n^\ast)^{-1}. \end{gathered}$

Пример 2.7. Рассмотрим численный пример, которому соответствуют рассмотренные выше матрицы:

$A = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4\\ -3 & 4 & -5\\ 4 & -5 & 6 \end{vmatrix}\qquad C = \begin{vmatrix} 7 & 2 & 9\\ 2 & 9 & 0\\ 9 & 0 & 11 \end{vmatrix}$

Заметим, что вторая матрица соответствует значению a=5.

Первая из двух линейных программ, указанных в условиях теоремы, имеет вид:

$\begin{gathered} u_1 + u_2 + u_3 \to \min,\\ u_1 \ge 0,\ u_2 \ge 0,\ u_3 \ge 0,\\ 7u_1 + 2 u_2 + 9 u_3 \ge 1,\\ 2 u_1 + 9u_2 \ge 1,\\ 9u_1 + 11 u_3 \ge 1, \end{gathered}$

и ей соответствует решение

$u^\ast = \left(\frac{1}{20}, \frac{1}{10}, \frac{1}{20}\right)\!, \quad v_c = 5,$

найденное симплекс- методом^{4См., например, учебное
пособие: Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В.
Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.}. Следовательно,

$x^\ast = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\!, \quad v = v_c - a = 0.$

Дальше >>

Исследование операций и модели экономического поведения

Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Сведение решения матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Матричные игры и линейные программы как модели поведения

Сведение решения матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования

Вопросы и ответы

Студенты