НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Введение в математический анализ

Опубликован: 06.07.2010 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

Курс знакомит с числовыми множествами и числовыми последовательностями. Вводится понятие функции, её предела и непрерывности.

В начале курса даются основные понятия теории множеств, изучаются основные числовые множества, вводится понятие верхней и нижней грани. Вводится понятие числовой последовательности и её предела, изучаются вопросы сходимости. Далее даётся понятие функции, её предела в точке, в бесконечности. Изучаются свойства функций, имеющих предел. Рассматриваются бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.Вводится понятие непрерывности функции, точки разрыва, их классификация. Изучаются свойства непрерывных функций.

Цель: Подготовить студентов к изучению основных разделов математического анализа.

Дополнительные курсы Математический анализ. Ряды Математический анализ Математический анализ. Интегральное исчисление Математический анализ. Интегрирование Введение в математику Введение в математику. Практикум Высшая математика на Mathcad Математический анализ Математический анализ - 1 Математический анализ - 2

Вам нравится? Нравится 51 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Действительные числа и множества Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной верхней и нижней грани множества. Оглавление Введение Множества Логические символы Понятие множества, его элемента Подмножество Равенство множеств A=B Примеры множеств, пустое множество Объединение множеств. Его свойства Пересечение множеств Его свойства Пример объединения и пересечения множеств Конечные и бесконечные множества Взаимно-однозначное соответствие между множествами Эквивалентные множества Счетные множества Действительные числа. Абсолютная величина Натуральные, рациональные, иррациональные числа Понятие действительного числа Абсолютная величина (модуль) Свойства модуля Числовая ось. Простейшие множества чисел Числовая прямая Отрезок, интервал, полуинтервал Окрестность точки, окрестность, проколотая окрестность Точная верхняя и точная нижняя грани Ограниченное сверху множество. Пример Ограниченное снизу множество. Пример Ограниченное множество Неограниченное сверху (снизу)множество. Примеры Верхняя грань. Точная верхняя грань множества Нижняя грань. Точная нижняя грань множества Теорема 1 о существовании точной верхней (точной нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества	-
Тест 1 48 минут	16 заданий	-
Лекция 2	Числовая последовательность и ее предел Дается определение числовой последовательности и её предела. Рассматривается геометрический смысл предела последовательности, доказываются единственность предела, арифметические свойства предела и предельные переходы в неравенствах. На примерах разбираются некоторые приёмы вычисления пределов. Оглавление Введение Числовая последовательность и ее предел Понятие числовой последовательности. Примеры Предел числовой последовательности Сходящаяся последовательность Предельная точка множества Предел и предельная точка последовательности (геометрический смысл предела) Количество элементов вне любой окрестности предела; Теорема о единственности предела (доказательство) Арифметические операции над сходящимися последовательностями Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (доказательство для суммы) Теорема о пределе промежуточной последовательности (доказательство) Примеры вычисления пределов с помощью:определения предела; деления на большую степень; умножения на сопряженное	-
Тест 2 18 минут	6 заданий	-
Лекция 3	Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также рассматриваются их свойства. Вводится число е. Оглавление Введение Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Ограниченная сверху (снизу) последовательность. Ограниченная последовательность. Примеры Неограниченная последовательность. Пример Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности Предел произведения бесконечно малой последовательности на ограниченную. Пример Связь между бесконечно большой и неограниченной последовательностями Сходимость числовой последовательности Теорема 4 об ограниченности сходящейся последовательности (доказательство) Пример ограниченной, но не сходящейся последовательности Невозрастающая (неубывающая) последовательность. Монотонная последовательность Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (доказательство) Принцип вложенных отрезков Число е Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия Подпоследовательность Частичный предел Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности (доказательство) Следствия теоремы Больцано-Вейерштрасса Критерий Коши сходимости последовательности Теорема (критерий Коши). О сходимости последовательности Фундаментальная последовательность	-
Тест 3 42 минуты	14 заданий	-
Практическая работа 1	Множества. Метод математической индукции Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние и нижние грани множества. Решаются задачи, связанные с понятием действительного числа и его модуля. С помощью метода математической индукции доказываются некоторые утверждения. Оглавление Введение Действительные числа Задача 1 Задача 2 Модуль числа Задача 3 Задача 4 Множества Задача 5 Задача 6 Задача 7 Операции над множествами Задача 8 Подмножества Задача 9 Счетные множества Задача 10 Задача 11 Точные верхние и нижние грани Задача 12 Задача 13 Задача 14 Метод математической индукции Задача 15 Задача 16	-
Практическая работа 2	Числовая последовательность и ее предел Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том числе методами "деления на наибольшую степень" и "умножения на сопряженное". Рассматривается вопрос сходимости некоторых последовательностей. Оглавление Введение Определение числовой последовательности Задача 1 Задача 2 Определение предела последовательности Задача 3 Задача 4 Вычислить предел последовательности (отношение многочленов) Задача 5 Задача 6 Задача 7 Вычислить предел последовательности Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Сходимость последовательности Задача 16 Задача 17	-
Лекция 4	Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и по Гейне и в терминах окрестностей. Доказываются теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел , о переходе к пределу в неравенствах и пределе промежуточной функции. Даётся определение предела функции в бесконечности. Оглавление Введение Понятие функции. Способы задания функции Функция, область определения, множество значений Равные функции. Пример Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ здания функции. График функции Табличный способ задания функции Предел функции в точке Определение предела в точке по Коши Примеры вычисления пределов функций с помощью определения Геометрическая интерпретация определения предела Значение функции в точке и её предел в этой точке Определение предела в точке по Гейне Пример функции, не имеющей предел в точке Теоремы о пределах Теорема 1 о единственности предела (доказательство) Определение ограниченной в окрестности функции Теорема 2 об ограниченности функции, имеющей предел (доказательство) Теорема 3 о переходе к пределу в неравенстве Теорема 4 о пределе промежуточной функции Предел функции в бесконечности Определение предела функции в бесконечности Геометрическая интерпретация предела на бесконечности Пример функции, имеющей предел на бесконечности	-
Тест 4 21 минута	7 заданий	-
Лекция 5	Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и др. Доказываются арифметические свойства пределов. Вводится понятие бесконечно большой функции и устанавливается связь между б.б.ф. и б.м.ф. Оглавление Введение Бесконечно малые функции и их свойства Определение бесконечно малой функции в точке Определение бесконечно малой функции на бесконечности Примеры бесконечно малых функций Теорема 5 о сумме двух б.м.ф. (доказательство) Теорема 6 о произведении б.м.ф. на ограниченную (доказательство) Следствие о произведении б.м.ф. на функцию, имеющую конечный предел Лемма об ограниченности обратной функции Теорема 7 о частном б.м.ф. и функции, имеющей предел (доказательство) Теорема 8 о связи функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно малой функцией (доказательство) Арифметические операции над пределами Теорема 9 об арифметических свойствах предела (доказательство для произведения) Следствие о постоянном множителе и пределе Бесконечно большие функции Определение бесконечно большой функции Положительная и отрицательная б.б.ф Пример б.б.ф Теорема 10-11 о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций (доказательство) Односторонние пределы функции в точке Левосторонний и правосторонний пределы. Пример Теорема 12 о связи предела в точке с односторонними пределами (доказательство)	-
Тест 5 33 минуты	11 заданий	-
Лекция 6	Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций. Рассматриваются основные элементарные функции и доказывается их непрерывность на примере функции cos x. Вычисляются замечательные пределы и рассматриваются операции над непрерывными функциями. Вводится понятие сложной функции и изучается её непрерывность. Оглавление Введение Непрерывность функции Определение непрерывности с использованием предела Определение непрерывности на языке Приращение аргумента и функции Определение непрерывности через приращения аргумента и функции Определение непрерывности по Гейне Равносильность определений Теорема 13 о сохранении неравенства непрерывной функции (доказательство) Теорема 14 об устойчивости знака непрерывной функции Основные элементарные функции и их непрерывность Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция. Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Элементарные функции Непрерывность основных элементарных функций на примере y=cos x Замечательные пределы 1-й замечательный предел 2-й замечательный предел Операции над непрерывными функциями Теорема 15 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций (доказательство на примере частного) Сложная функция. Непрерывность сложной функции Теорема 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (доказательство) Теорема 17 о непрерывности сложной функции (доказательство)	-
Тест 6 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 7	Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале и на отрезке. Изучаются свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о нуле функции, о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса. Оглавление Введение Точки разрыва Определение точки разрыва. Устранимая точка разрыва. Пример Неустранимая точка разрыва Точка разрыва с конечным скачком. Пример Точки разрыва 1-го рода Точки разрыва 2-го рода. Примеры Непрерывность справа и слева Непрерывность на интервале и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 18Больцано-Коши о нуле функции (доказательство) Следствие для многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами Теорема 19 Коши о промежуточных значениях непрерывной функции (доказательство) Теорема 20 (1-я теорема Вейерштрасса ) об ограниченности непрерывной на отрезке функции Теорема 21 (2-я теорема Вейерштрасса ) о достижении точной верхней и нижней грани непрерывной на отрезке функции Теорема 22 о достижении наименьшего и наибольшего значений непрерывной на отрезке функции	-
Тест 7 21 минута	7 заданий	-
Лекция 8	Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие порядка и эквивалентности. Доказываются теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные и условие эквивалентности. Вводятся символы Ландау и изучаются асимптотические формулы. Оглавление Введение Равномерная непрерывность Определение равномерной непрерывности. Пример Примеры функций непрерывных, но не равномерно непрерывных на интервале. Теорема 23. Кантора о равномерной непрерывности на отрезке (доказательство) Сравнение бесконечно малых функций Бесконечно малые функции более высокого порядка. Пример Бесконечно малые функции одного порядка. Пример Несравнимые бесконечно малые функции. Пример Порядок малости. Пример Эквивалентные б.м.ф Свойства отношения эквивалентности Примеры эквивалентных б.м.ф Таблица эквивалентностей Главный степенной член функции Теорема 24 о замена б.м.ф. эквивалентными (доказательство) Теорема 25 об условии эквивалентности Символы о и О Определение о-малое. Примеры Определение О-большое. Примеры Формулы для о-малое и О-большое Асимптотические формулы	-
Тест 8 30 минут	10 заданий	-
Практическая работа 3	Предел функции Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах предела. Раскрываются неопределенности с помощью разложения на множители, деления на наибольшую степень, умножения на сопряженное выражение, введения новой переменной. Решаются задачи с использованием замечательных пределов. Оглавление Введение Определение предела функции Задача 1 Вычислить предел функции с помощью разложения на множители или деления на наибольшую степень Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Вычислить предел функции с помощью умножения на сопряжённое выражение и замены переменных Задача 7 Задача 8 Задача 9 Вычислить предел функции, используя замечательные пределы Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15	-
Практическая работа 4	Предел функции. Замечательные пределы Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные. Оглавление Введение Вычислить предел степенно-показательной функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Вычислить предел функции на бесконечности Задача 7 Задача 8	-
Практическая работа 5	Сравнение бесконечно малых функций. Асимптотические формулы Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических формул. Оглавление Введение Порядок малости Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Эквивалентность бесконечно малых функций Задача 5 Задача 6 Задача 7 Асимптотические формулы при вычислении пределов Задача 8 Задача 9	-
Практическая работа 6	Непрерывность, точки разрыва. Решение уравнений и неравенств Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер. Решаются задачи о нахождении корней уравнения с помощью теоремы Больцано-Коши. Методом интервалов решаются неравенства. Оглавление Введение Определение непрерывности Задача 1 Непрерывность и точки разрыва, их характер Задача 2 Доопределить функцию в точке до непрерывной Задача 3 Решение уравнений и неравенств Задача 4 Задача 5 Задача 6 Построить график функции (точки разрыва) Задача 7	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Введение в математический анализ

Дополнительные курсы

План занятий