НОУ ИНТУИТ | Основы дискретной математики. Лекция 9: Графы: представления, достижимость и связность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Вам нравится? Нравится 37 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Граф достижимости

Один из первых вопросов, возникающих при изучении графов, это вопрос о существовании путей между заданными или всеми парами вершин. Ответом на этот вопроc - введенное выше отношение достижимости на вершинах графа G=(V,E): вершина w достижима из вершины v, если v = w или в G есть путь из v в w. Иначе говоря, отношение достижимости является рефлексивным и транзитивным замыканием отношения E. Для неориентированных графов это отношение также симметрично и, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве вершин V. В неориентированном графе классы эквивалентности по отношению достижимости называются связными компонентами. Для ориентированных графов достижимость, вообще говоря, не должна быть симметричным отношением. Симметричной является взаимная достижимость.

Определение 9.8. Вершины v и w ориентированного графа G=(V,E) называются взаимно достижимыми, если в G есть путь из v в w и путь из w в v.

Ясно, что отношение взаимной достижимости является рефлексивным, симметричным и транзитивным и, следовательно, эквивалентностью на множестве вершин графа. Классы эквивалентности по отношению взаимной достижимости называются компонентами сильной связности или двусвязными компонентами графа.

Рассмотрим вначале вопрос о построении отношения достижимости. Определим для каждого графа его граф достижимости ( называемый иногда также графом транзитивного замыкания), ребра которого соответствуют путям исходного графа.

Определение 9.9. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф. Граф достижимости G^*=(V,E^*) для G имеет то же множество вершин V и следующее множество ребер E^* ={ (u, v) | в графе G вершина v достижима из вершины u}.

Пример 9.3. Рассмотрим граф G из примера 9.2.

Рис. 9.2. Граф G

Тогда можно проверить, что граф достижимости G* для G выглядит так (новые ребра -петли при каждой из вершин 1-5 не показаны):

Рис. 9.3. Граф G*

Каким образом по графу G можно построить граф G^*? Один способ заключается в том, чтобы для каждой вершины графа G определить множество достижимых из нее вершин, последовательно добавляя в него вершины, достижимые из нее путям и длины 0, 1, 2 и т.д.

Мы рассмотрим другой способ, основанный на использовании матрицы смежности A_G графа G и булевых операций. Пусть множество вершин V={v₁, ... , v_n}. Тогда матрица A_G - это булева матрица размера n x n.

Ниже для сохранения сходства с обычными операциями над матрицами мы будем использовать "арифметические" обозначения для булевых операций: через + будем обозначать дизъюнкцию $\vee,$ а через x - конъюнкцию $\wedge.$

Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Положим $\tilde{A} =A_G + E_n$ . Пусть $\tilde{A_0} = E_n, \tilde{A_1} = \tilde{A}, \dots, \tilde{A}_{k+1} = \tilde{A}_k \cdot \tilde{A}$ . Наша процедура построения G^* основана на следующем утверждении.

Лемма 9.2. Пусть $\tilde{A}_k = (a_{ij}^{(k)})$ . Тогда

$a_{ij}^{(k)} = \left\{ \begin{array}{cl} 1, & \mbox{ в } G \mbox{ из } v_i \mbox{ в } v_j \mbox{ имеется путь длины }\leq k\\ 0 & \mbox{ в противном случае} \\ \end{array}\right.$

Доказательство проведем индукцией по k.

Базис. При k=0 и k=1 утверждение справедливо по определению $\tilde{A}^0$ и $\tilde{A}^0$ .

Индукционный шаг. Пусть лемма справедлива для k. Покажем, что она остается справедливой и для k+1. По определению $\tilde{A}^{k+1}$ имеем:

$a_{ij}^{(k+1)} = a_{i1}^{(k)} a_{1j}^{(1)} + \ldots + a_{ir}^{(k)} a_{rj}^{(1)} + \ldots a_{in}^{(k)} a_{nj}^{(1)}$

Предположим, что в графе G из v_i в v_j имеется путь длины <= k+1. Рассмотрим кратчайший из таких путей. Если его длина <= k, то по предположению индукции a_{ij}^{(k)}=1. Кроме того, a_jj⁽¹⁾=1. Поэтому a_ij^(k) a_jj⁽¹⁾=1 и a_ij^(k+1)=1. Если длина кратчайшего пути из из v_i в v_j равна k+1, то пусть v_r - его предпоследняя вершина. Тогда из v_i в v_r имеется путь длины k и по предположению индукции a_ir^(k)=1. Так как $(v_{r},v_{j}) \in E$ , то a_{rj}^{(1)}=1. Поэтому a_ir^(k) a_rj⁽¹⁾=1 и a_ij^(k+1)=1.

Обратно, если a_ij^(k+1)=1, то хотя бы для одного r слагаемое a_ir^(k) a_rj⁽¹⁾ в сумме равно 1. Если это r=j, то a_ij^(k)=1 и по индуктивному предположению в G имеется путь из v_i в v_j длины <= k. Если же $r \ne j$ , то a_ir^(k)=1 и a_rj⁽¹⁾=1. Это означает, что в G имеется путь из v_i в v_r длины <= k и ребро $(v_{r},v_{j}) \in E$ . Объединив их, получаем путь из v_i в v_j длины <= k+1.

Из лемм 9.1 и 9.2 непосредственно получаем

Следствие 1. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф с n вершинам и, а G^* - его граф достижимости. Тогда A_{G*} = $\tilde{A}_{n-1}$ . Доказательство. Из леммы 5.1 следует, что, если в G имеется путь из u в $v\ne u$ , то в нем имеется и простой путь из u в v длины <= n-1. А по лемме 5.2 все такие пути представлены в матрице $\tilde{A}^{n-1}$ .

Таким образом процедура построения матрицы смежности A_G* графа достижимости для G сводится к возведению матрицы $\tilde{A}$ в степень n-1. Сделаем несколько замечаний, позволяющих упростить эту процедуру.

Для возведения матрицы $\tilde{A}$ в произвольную степень n достаточно выполнить $]\log_2 n[$ возведений в квадрат:

$\tilde{A} \Rightarrow \tilde{A}^2 \Rightarrow \tilde{A}^{2^2} \Rightarrow \ldots \Rightarrow \tilde{A}^{2^k},$
где k - это наименьшее число такое, что 2^k >= n.
Так как на диагонали в матрице $\tilde{A}$ стоят единицы, то для любых i < j все единицы матрицы $\tilde{A}^i$ сохраняются в матрице $\tilde{A}^j$ , в частности, и в матрице $(\tilde{A}^i)^2$ .
Если при вычислении элемента a_ij⁽²⁾ матрицы $(\tilde{A}^k)^2$ по стандартной формуле

$a_{ij}^{(2)} = a_{i1}a_{1j} + a_{i2}a_{2j}+ \ldots + a_{ir}a_{rj} + \ldots + a_{in}a_{nj}$

обнаруживается такое r, что a_ir = 1 и a_rj =1, то и вся сумма a_ij⁽²⁾ =1. Поэтому остальные слагаемые можно не рассматривать.

Пример 9.3. Рассмотрим в качестве примера вычисление матрицы графа достижимости A_G* для графа G, представленного на рис.9.2. В этом случае

$\tilde{A}= A_G + E_6 = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 0 & 0 & 1& 1& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0& 1& 1\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0& 1 \end{array}\right).$

Так как у G имеется 6 вершин, то $A_G*} = \tilde{A}^5$ . Вычислим эту матрицу:

$\tilde{A}^2= \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 0 & 1 & 1& 1& 1\\ 0 & 1 & 1 & 0& 1& 1\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0& 1 \end{array}\right), \ \ \tilde{A}^4= \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 &1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 1& 1& 1\\ 1 & 1 & 1 & 0& 1& 1\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0& 1 \end{array}\right)$

и $\ \tilde{A}^5=\tilde{A}^4 \times \tilde{A}^4 =\tilde{A}^4$ (последнее равенство нетрудно проверить). Таким образом,

$A_{G^*}= \tilde{A}^4= \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 &1 & 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1 & 1 & 1& 1& 1\\ 1 & 1 & 1 & 0& 1& 1\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0& 1 \end{array}\right)$

Как видим, эта матрица действительно задает граф G^* , представленный на рис.9.3.

Дальше >>

Основы дискретной математики

Графы: представления, достижимость и связность

Граф достижимости

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы дискретной математики

Графы: представления, достижимость и связность

Граф достижимости

Вопросы и ответы

Студенты