Графы: представления, достижимость и связность

Основные понятия

Мы часто сталкиваемся с задачами, в условиях которых заданы некоторые объекты и между некоторыми их парами имеются определенные связи. Если объекты изобразить точками ( вершинам и), а связи - линиями ( ребрами ), соединяющими соответствующие пары точек, то получится рисунок, называемый графом. Историю теории графов принято исчислять с 1736 г., когда Эйлер исследовал "задачу о кенигсберских мостах": построить в графе циклический путь, проходящий по одному разу через каждое ребро. В середине 19-го века Гамильтон заинтересовался задачей построения циклического пути, проходящего по одному разу через каждую вершину графа^{1Интересно, что несмотря на внешнюю похожесть задача Эйлера имеет простое эффективное решение (см. задачу 11.1), а задача Гамильтона в общем случае эффективно не решается.} К тому же времени относится использование графов для анализа электрических цепей ( Кирхгоф ) и химических молекул (Кэли). Развитие современной теории графов относится к 30-м годам 20-го столетия. Они нашли многочисленные применения в электротехнике, электронике, биологии, экономике, программировании и в других областях. В этой и двух следующих лекциях мы рассмотрим основные понятия теории графов и несколько широко используемых в различных приложениях типовых задач, таких, как представления графов, отношение достижимости и транзитивное замыкание графа, компоненты сильной связности ориентированного графа и его базы, деревья и их обходы, минимальные остовные деревья, поиск в глубину и поиск кратчайших путей. Основное внимание уделено алгоритмическим процедурам, решающим указанные задачи.

Приведем основные определения.

Определение 9.1. Ориентированный граф - это пара (V, E), где V - конечное множество вершин (узлов, точек) графа, а E - некоторое множество пар вершин, т.е. подмножество множества V x V или бинарное отношение на V. Элементы E называют ребрами (дугами, стрелками, связями). Для ребра вершина u называется началом e, а вершина v - концом e, говорят, что ребро e ведет из u в v.

Неориентированный граф G=(V, E) - это ориентированный граф, у которого для каждого ребра имеется противоположное ребро , т.е. отношение E симметрично. Такая пара (u,v), (v,u) называется неориентированным ребром. Для его задания можно использовать обозначение для множества концов: {u, v}, но чаще используется указание одной из пар в круглых скобках. Если , то вершины u и v называются смежными в G, а ребро e и эти вершины называются инцидентными. Степенью вершины в неориентированном графе называется число смежных с ней вершин. Вершина степени 0 называется изолированной.

В ориентированном графе полустепень исхода вершины - это число исходящих из нее ребер, а полустепень захода - это число входящих в данную вершину ребер.

Заметим, что в ориентированном графе может быть ребро вида (u,u), называемое петлей, а в неориентированном петель не бывает.

Пример 9.2. На рис.9.1 приведены примеры ориентированного графа G₁=(V₁, E₁) и не ориентированного графа G₂=(V₂, E₂). Здесь V₁={ a,b,c,d}, E₁={ (a,b), (a,c), (b,b), (b,d), (d,a)}, V₂={ a,b,c,d}, E₂={ (a,b), (a,c), (a,d), (b,d)}. В графе G₁ ребро (b,b) является петлей, полустепень исхода вершины a равна 2, а полустепень захода для нее равна 1. В графе G₂ степень вершины a равна 3, вершин b и d - 2, вершины c - 1, а вершины e - 0, т.е. вершина e является изолированной,

Рис. 9.1. Ориентированный граф G1 и неориентированный граф G2

Во многих приложениях с вершинам и и ребрами графов связывается некоторая дополнительная информация. Обычно она представляется с помощью функций разметки вершин и ребер.

Определение 9.2. Размеченный граф - это ориентированный или неориентированный граф G= (V, E), снабженный одной или двумя функциями разметки вида: l: V -> M и c: E -> L, где M и L - множества меток вершин и ребер, соответственно.

Упорядоченный граф - это размеченный граф G= (V, E), в котором ребра, выходящие из каждой вершины , упорядочены, т.е. помечены номерами 1, ..., k_v, где k_v - полустепень исхода v, т.е. .

В качестве множества меток ребер L часто выступают числа, задающие "веса", "длины", "стоимости" ребер. Графы с такой разметкой часто называют взвешенными.

Во многих случаях естественно не различать графы, отличающиеся лишь именами (порядком) вершин.

Определение 9.3. Изоморфизм графов. Два графа G₁= (V₁, E₁) и G₂= (V₂, E₂) называются изоморфными, если между их вершинам и существует взаимно однозначное соответствие такое, что для любой пары вершин u, v из V₁ ребро ребро .

Для изоморфизма размеченных графов требуется также совпадение меток соответствующих вершин : и/или ребер: .

Многие приложения графов связаны с изучением путей между их вершинами.

Определение 9.4. Путь в ориентированном или неориентированном графе - это последовательность ребер вида (v₁,v₂),(v₂,v₃), ... , (v_n-1,v_n). Этот путь ведет из начальной вершины v₁ в конечную вершину v_n и имеет длину n-1. В этом случае будем говорить, что v_n достижима из v₁. Будем считать, что каждая вершина достижима сама из себя путем длины 0. Путь можно также определять как соответствующую последовательность вершин: (v₁,v₂,v₃, ... , v_n-1,v_n), где при i=1,2,..., n-1.

Путь назывется простым, если все ребра и все вершины на нем, кроме, быть может, первой и последней, различны.

Циклом в ориентированном графе называется путь, в котором начальная вершина совпадает с конечной и который содержит хотя бы одно ребро. Цикл (v₁,v₂, ... , v_{n-1},v_n=v₁) называется простым, если в нем нет одинаковых вершин, кроме первой и последней, т.е. если все вершины v₂, ... , v_{n-1} различны.

В неориентированном графе путь (v₁,v₂, ... , v_n-1,v_n=v₁) называется циклом, если n >= 4 и все ребра (v_i, v_i+1) различны.

Если в графе нет циклов, то он называется ациклическим.

Из последнего определения следует, что длина цикла в неориентированном графе не меньше 3. Следующее утверждение непосредственно следует из определений.

Лемма 9.1. Если в графе G ( ориентированном или неориентированном ) имеется путь из u в v, то в нем имеется и простой путь из u в v.

Неориентированный граф называется связным, если любая пара вершин в нем соединена путем. При выполнении такого же условия ориентированный граф называется сильно связным.

Представления графов

Из определения графа следует, что каждый граф G=(V,E) можно задать, непосредственно перечислив его множество вершин V и множество ребер E. Однако такое представление неудобно для решения многих задач о графах. Например, чтобы проверить наличие ребра между двумя вершинам и, придется, вообще говоря, просмотреть все множество E. Хорошее представление, по крайней мере, должно позволить легко переходить от вершины к ее соседу и перечислять всех ее соседей.

В этом параграфе мы рассмотрим три разных способа представления графов, которые более эффективны при решении типичных для теории графов задач.