НОУ ИНТУИТ | Основы дискретной математики. Лекция 6: Хорновские формулы и задача получения продукции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Аннотация: Хорновские формулы. Задача получения продукции. Связь между задачей о следствии для Хорновских формул и разрешимостью задачи о продукции. Эффективные алгоритмы прямого поиска (поиска от данных) для решения задачи о продукции

Хорновские формулы

Определим вначале один интересный класс булевых формул - Хорновские формулы.

Определение 6.1. Пусть A - это множество логических (булевых) переменных. Хорновская (H-) формула - это формула вида

$(a_1 \wedge a_2 \wedge \ldots \wedge a_r) \rightarrow b,$

где $a_{i}, b \in A$

Содержательно, такая Хорновская формула утверждает, что из истинности всех условий набора {a₁, a₂, ... , a_r} следует истинность заключения b. Утверждения такого вида находят широкое применение в различных разделах информатики. В частности, в теории баз данных такой вид имеют "функциональные зависимости", в логическом программировании - правила логических программ, в автоматическом синтезе программ - "аксиомы вычислимости". В таком же виде формулируются правила вывода во многих экспертных системах.

В этих и других областях представляют интерес связанные между собой задачи о минимальности набора H-формул и о выводимости некоторой H-формулы из заданного набора H -формул. Первая задача состоит в выяснении того, входит ли в набор H -формул F некоторая формула $\phi,$ которая может быть удалена из F без потери информации, т.е. которая выводится из $F \setminus \{ \varphi \}$ , а это и есть задача о выводимости. Уточним эту задачу.

Определение 6.2. H-формула $\phi$ является следствием или выводится из множества H-формул F, если на всяком наборе значений переменных из A, на котором истинны все формулы из F, истинна и $\phi$ (будем это обозначать как $F\models \phi$ ).

Это понятие следования некоторой формулы из множества формул можно сформулировать и для произвольных булевых формул, а не только для Хорновских. Следующее простое утверждение показывает, что понятие следования (выводимости) можно переформулировать в терминах тождественной истинности (см. определение 3.4).

Предложение 6.1. H-формула $\phi$ является следствием множества H -формул F тогда и только тогда, когда формула

$\left ( \bigwedge_{\psi \in F} \psi \right ) \rightarrow\ \phi$

( *)

является истинной на всех наборах значений переменных (т.е. тождественно истинной).

Доказательство непосредственно следует из определения значений конъюнкции и импликации.

Как уже отмечалось в п.3, проблема проверки по булевой формуле ее тождественной истинности является весьма сложной. Известный нам метод такой проверки с помощью построения таблицы значений на всех наборах переменных практически не работает уже для формул с несколькими десятками переменных. В то же время во многих практических задачах число логических параметров исчисляется сотнями. Оказывается, что для установления тождественной истинности формул вида (*) или, что то же самое, для задачи проверки условия $F\models \phi$ для H -формул имеется простой и очень эффективный алгоритм, позволяющий ее решать для формул с сотнями и тысячами переменных.

Мы изложим этот алгоритм на примере одного из интересных "экономических" приложений H-формул - задачи о возможности производства заданной продукции (набора товаров) из некоторого множества исходных продуктов (товаров, сырья).

Задача получения продукции

Пусть задано некоторое множество A={ a₁, a₂, ..., _N} имен товаров (продуктов, сырья и т.п.) и имеется некоторое множество F технологических процессов (производств), описывающих возможности получения одних продуктов из других. Каждый технологический процесс $t \in F$ задается множеством $L_{t} \subseteq A$ исходных продуктов (входов) этого процесса и результирующим продуктом (выходом) $b_{t} \in A$ , т.е. процесс t позволяет из исходных продуктов L_t получить продукт b_t - его выход. Будем задавать технологический процесс в виде t: L_t -> b_t. Продукт, полученный в одном процессе, может далее использоваться в других процессах.

Определение 6.3. Задача получения продукции состоит в том, чтобы выяснить по заданному набору исходных продуктов $X \subseteq A$ и результирующему продукту $y \in A$ можно ли с помощью технологических процессов из F получить выход y по входным продуктам из X .

(Можно обобщить эту задачу и рассматривать возможность получения по X некоторого множества результирующих продуктов $Y \subseteq A$ .)

Пример 6.1. Пусть A= { дерево, клей, гвозди, кирпич, стекло, окна, полы, стены, крыша, столы}. Множество технологических процессов F={t₁, t₂, t₃, t₄, t₅, t₆} задается соответствующими множествами входов и выходов.

t₁: { дерево, клей, гвозди } -> столы
t₂: { дерево, гвозди} -> полы
t₃: { дерево, клей, стекло} -> окна
t₄: { стены, полы, крыша} -> дача
t₅: { кирпич, окна, дерево} -> стены
t₆: { дерево, гвозди } -> столы

Рассмотрим для этой системы технологических процессов задачу получения продукта дача по исходному множеству продуктов: {дерево, клей, гвозди, стекло, кирпич, крыша}.

Нетрудно понять, что эта задача решается положительно с помощью следующей цепочки процессов: t₃; t₅; t₂; t₄. Действительно, в t₃ получаются окна, которые используются в t₅ для получения стен, в t₂ производятся полы, а затем произведенные ранее стены, полы, крыша используются в t₄ для получения результата дача.

Подчеркнем, что мы абстрагируемся от количественных оценок исходных и производимых продуктов и считаем, что они всегда даются на входе и производятся в количестве, достаточном для обеспечения "сырьем" всех запускаемых процессов.

Построим формальную модель задачи о производстве с помощью булевых формул.

Будем рассматривать A как множество булевых переменных. Каждому процессу t с параметрами L_t={a₁,... , a_r} и b_t сопоставим следующую H-формулу $\Phi (t)$ :

$(a_1 \wedge a_2 \wedge ... \wedge a_r) \rightarrow b_t.$

Например, процессу t₅ из нашего примера соответствует формула $\Phi (t_{5})$ :

$( \textit{кирпич} \wedge \textit{окна} \wedge \textit{ дерево}) \rightarrow \textit{стены}.$

Сохраним для множества H -формул, соответствующих процессам, обозначение F.

Справедлива следующая теорема, которая показывает, что задача о возможности получения продукции и задача о следствии из множества H-формул эквивалентны.

Теорема 6.1. Для любых множества продуктов A, множества технологических процессов F, множества исходных продуктов $X \subseteq A$ и результирующего продукта $y \in A$ задача получения продукта y по входным продуктам из X с помощью процессов из F разрешима тогда и только тогда, когда $F \models \phi_X \rightarrow y$ , где $\phi_X= \bigwedge_{a\in X} a.$

Доказательство $\Longrightarrow$ Предположим, что с помощью набора процессов из множества F={t₁, ..., t_h } из множества исходных продуктов X можно получить y. Пусть $\tau =t_{i_1}, \ldots , t_{i_m}$ - это последовательность процессов из F, которая приводит к получению y. Докажем, что тогда $F \models \phi_X \rightarrow y$ . Рассмотрим произвольный набор значений переменных $\bar{\sigma}= (\sigma(a_1), \ldots , \sigma(a_n))$ , на котором истинны все формулы из F. Если хотя бы для одной переменной $a_{j} \in X$ ее значение $\sigma (a_{j})=0$ , то формула $\varphi _{X} \to y$ истинна, поскольку ее левая часть ложна. Предположим теперь, что для любой переменной $a_{j} \in X$ ее значение $\sigma (a_{j}) =1$ .

Тогда индукцией по номеру r процесса $t_{i_r}$ в $\tau$ покажем, что для каждого r=1, ..., m значение соответствующей результирующей переменной $\sigma(b_{i_r}) =1$ . Действительно, при r=1 из применимости процесса $t_{i_1}$ следует, что $L_{i_1} \subseteq X$ , но тогда $\sigma (a) = 1$ для любой переменной $a \in L_{i_1}$ и левая часть импликации $\Phi(t_{i_1})$ истинна на наборе $\bar{\sigma}$ . Но так как и вся формула $\Phi(t_{i_1})$ истинна на $\bar{\sigma}$ , то и ее заключение $b_{i_1}$ тоже истинно на $\bar{\sigma}$ , т.е. $\sigma(b_{i_1}) =1$ . Пусть теперь для некоторого k > 1\ $\sigma(b_{i_r}) =1$ при r < k. Докажем, что и $\sigma(b_{i_k}) =1$ . Поскольку процесс $t_{i_k}$ применим после процессов $t_{i_1},\ldots , t_{i_{k-1}}$ , то $L_{i_k} \subseteq X \cup \{b_{i_r}\ |\ r=1, \ldots , k-1\}$ . Тогда все переменные из $L_{i_k}$ истинны на $\bar{\sigma}$ и, следовательно, $\sigma(b_{i_k}) =1$ .

Из доказанного утверждения следует, что $\sigma(b_{i_m}) =1$ . Но так как последовательность $\tau$ приводит к выпуску y, то $b_{i_m} = y$ и, следовательно, $\sigma(y) =1$ . Таким образом, формула $\varphi _{X} \to y$ истинна на $\bar{\sigma}$ и условие $F \models \phi_X \rightarrow y$ выполнено.

$\Longleftarrow$ Предположим теперь, что выполнено условие $F \models \phi_X \rightarrow y$ . Опишем построение последовательности процессов $\tau,$ которая приведет к производству y. Эта последовательность будет строиться по шагам. На шаге i вместе с последовательностью $\tau _{i}$ будем Определять множество продуктов X_i, которые можно произвести, исходя из X с помощью $\tau _{i}$ . Процедура построения последовательности $\tau _{i}$ завершается, как только в нее включается некоторый процесс с результатом y, либо когда на очередном этапе в X_i не добавляются новые элементы.

Шаг 0.Положим $\tau _{0}=\varnothing$ , X₀=X.

Шаг 1. Положим $\tau _{1} =\{ t \in F | L_{t} \subseteq X_{0}\}$ и $X_{1}= X_{0} \cup \{ b_{t} | t \in \tau _{1}\}$ .

Пусть уже определены $\tau _{i}$ и X_i.

Шаг i+1. Положим $\tau _{i+1}' =\{ t \in (F \setminus \tau _{i}) | L_{t} \subseteq X_{i}\}$ , $X_{i+1}= X_{i} \cup \{ b_{t} | t \in \tau _{i+1}'\}$ и $\tau _{i+1} = \tau _{i} \tau _{i+1}'$ ( процессы внутри $\tau _{i+1}'$ упорядочиваются в произвольном порядке).

Если $y \in X_{i+1}$ или X_i=X_i+1, то положим $\tau = \tau _{i+1}$ и закончим процедуру.

Заметим вначале, что эта процедура построения $\tau$ обязательно завершится через конечное число шагов, так как размер X_i не может превысить размер множества всех продуктов A. Покажем, что процесс построения $\tau$ завершится на таком шаге (i+1), для которого впервые $y \in X_{i+1}$ , т.е. что последовательность процессов $\tau$ приводит к производству y. Действительно, предположим, что процедура завершилась после этапа (i+1) из-за выполнения равенства X_i=X_i+1 (при этом $y \notin X_{i+1}$ . Покажем, что тогда существует набор значений переменных $\bar{\sigma}= (\sigma(a_1), \ldots , \sigma(a_n)),\$ на котором все формулы из F истинны, а формула $\varphi _{X} \to y$ ложна. Положим $\sigma (a)=1$ при $a \in X_{i+1}$ и $\sigma (a)=0$ при $a \notin X_{i+1}$ . Так как $X \subseteq X_{0}\subseteq X_{i+1}$ , то для каждого $a \in X$ значение $\sigma (a)=1$ , а так как $y \notin X_{i+1}$ , то $\sigma (y)=0$ , т.е. формула $\varphi _{X} \to y$ на наборе $\bar{\sigma}$ ложна. Каждая формула $\Phi (t)$ \ для $t \in \tau _{i+1}$ истинна, поскольку $b_{t} \in X_{i+1}$ и, следовательно, $\sigma (b_{t})=1$ . Ложной могла бы оказаться лишь такая формула $\Phi (t)$ , для такого процесса $t \in F$ , у которого заключение $b_{t} \notin X_{i+1}$ . Но для такого процесса t обязательно имеется продукт $a \in L_{t}$ , который не входит в X_i (иначе бы b_t попало в X_i+1 и процедура не остановилась бы на (i+1) -ом шаге). Для этого a значение $\sigma (a)=0$ . Но тогда условие импликации $\Phi (t)$ ложно на $\bar{\sigma}$ , а вся формула $\Phi (t)$ на нем истинна. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое показывает, что $y \in X_{i+1}$ и процесс $\tau$ приводит к производству y.