НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 9: Преобразования случайных величин

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Функции от двух случайных величин

Пусть $\xi_1$ и $\xi_2$ - случайные величины с плотностью совместного распределения $f_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)$ , и задана борелевская функция $g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ . Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины $\eta=g(\xi_1,\xi_2)$ .

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 30. Пусть $x\in\mathbb R$ , и область $D_x\,\subseteq\,\mathbb R^2$ состоит из точек $(u,\,v)$ таких, что $g(u,\,v)<x$ . Тогда случайная величина ${\eta=g(\xi_1,\,\xi_2)}$ имеет функцию распределения

$F_\eta(x)=\Prob\bigl(g(\xi_1,\,\xi_2)<x\bigr)= \Prob\bigl((\xi_1,\,\xi_2)\in D_x\bigr) =\mathop{\int\int}\limits_{\!D_x} f_{\xi_1,\,\xi_2}(u,\,v)\,du\,dv.$

Далее в этой лекции предполагается, что случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы, т.е. $f_{\xi_1,\,\xi_2}(u,\,v)\equiv f_{\xi_1}(u)\,f_{\xi_2}(v)$ . В этом случае распределение величины $g(\xi_1,\,\xi_2)$ полностью определяется частными распределениями величин $\xi_1$ и $\xi_2$ .

Следствие 9 (формула свертки). Если случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы и имеют абсолютно непрерывные распределения с плотностями $f_{\xi_1}(u)$ и $f_{\xi_2}(v)$ , то плотность распределения суммы $\xi_1+\xi_2$ существует и равна "свертке" плотностей $f_{\xi_1}$ и $f_{\xi_2}$ :

$\begin{equation} f_{\xi_1+\,\xi_2}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u) du= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\xi_2}(u) f_{\xi_1}(t-u) du. \end{equation}$

( 17)

Доказательство. Воспользуемся утверждением теоремы 30 для борелевской функции g(u,v)=u+v . Интегрирование по двумерной области ${D_x=\{(u,\,v) | u+v<x\}}$ можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного - по переменной , меняющейся в пределах от $-\infty$ до $+\infty$ , и внутреннего - по переменной , которая при каждом должна быть меньше, чем x-u . Поэтому

$F_{\xi_1+\,\xi_2}(x) =\mathop{\int\int}\limits_{\!D_x} f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(v)\,dv\,du= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\!\left( \int\limits_{-\infty}^{\,x-u}\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(v)\,dv\!\right)\!du.$

Сделаем в последнем интеграле замену переменной

на

так:

. При этом $v\in(-\infty,\, x-u)$ перейдет в $t\in(-\infty,\,x)$ , {dv=dt}

. В полученном интеграле меняем порядок интегрирования:

$F_{\xi_1+\,\xi_2}(x)=\!\int\limits_{\!\!-\infty }^{\infty} \!\!\!\left(\, \int\limits_{\!-\infty}^{x}\!\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u) dt \!\right)\! du= \!\!\int\limits_{\!-\infty }^{x}\ \!\!\!\!\left(\, \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\! f_{\xi_1}(u) f_{\xi_2}(t-u)\,du \!\right)dt.$

Итак, мы представили функцию распределения $F_{\xi_1+\,\xi_2}(x)$ в виде интеграла от ${-\infty}$ до

от плотности распределения $f_{\xi_1+\,\xi_2}(t)$ из формулы свертки (17).

Следствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает, что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.

Упражнение. Для тех, кто уже ничему не удивляется: привести пример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение. Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая - абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение:

Упражнение. Пусть величина $\xi$ имеет таблицу распределения ${\Prob(\xi=a_i)=p_i,}$ а $\eta$ имеет плотность распределения $f_\eta(x)$ , и эти величины независимы. Доказать, что $\xi+\eta$ имеет плотность распределения $f_{\xi+\eta}(x)=\sum p_i f_\eta(x-a_i)$ . Для вычисления функции распределения суммы использовать формулу полной вероятности.