НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 2: Алгебра множеств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.03.2008 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Вятский государственный университет

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Нахождение мощности объединения множеств

Мощность объединения двух множеств:
$\left| А \cup В \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| А \cap В \right|$ ( рис. 2.4).

Рис. 2.4.
Мощность объединения трех множеств:
$\left| А \cup В \cup С \right|= \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| А \cap В \right| - \left| А \cap С \right| - \left| В \cap С \right| + \left| А \cap В \cap С \right|$ ( рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Доказательство:

$\begin{array} \left| А \cup В \cup С | = \left| А \cup (В \cup С) \right| = \left| А \right| + \left| В \cup С \right| - \left| А \cap (В \cup С) \right| = \\ \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| В \cap С \right| - \left| (А \cap В) \cup (А \cap С) \right| = \\ \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| В \cap С \right| - \left| А \cap В \right| - \left| А \cap С \right| + \left| А \cap В \cap С \right|. \\ \end{array}$
Мощность объединения множеств:
Теорема. - некоторые множества, тогда мощность объединения множеств определяется по формуле

$\begin{array} \left| А_1 \cup А_2 \cup .... \cup A_n | = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| +...+\\ + \left| A_n \right| - \left[ \left| А_1 \cap А_2 \right| + \left| А_1 \cap А_3 \right| + ...+ \left| A_{n-1} \cap A_n \right| \right] + \\ \left[ \left| А_1 \cap А_2 \cap А_3 \right| + \left| А_1 \cap А_2 \cap А_4 \right| + ... + \left| A_{n-2} \cap А_{n-1} \cap А_n \right| \right] -...\\ + (-1)^{n-1} \left| А_1 \cap А_2 \cap....A_n \right| .\\ \end{array}$

Правая часть этой формулы является суммой слагаемых, -е по порядку слагаемое имеет вид $(-1)^{k-1} S_k (A_1, ....., A_n)$ , где есть сумма чисел мощностей $\left| A_i1 \cap.... \cap A_lk \right|$ по всем возможным пересечениям k разных множеств из множеств

Пример. На потоке из 100 студентов 28 человек изучают английский язык, 30 человек - немецкий язык, 42 человека - французский язык. Причем 8 человек изучают два языка - английский и немецкий, 10 человек изучает английский и французский языки, 5 человек - немецкий и французский языки. 3 человека изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни один из перечисленных языков?

Пусть - множество студентов, $\left| S \right| = 100$ (студентов). - множество студентов, изучающих английский язык, $\left| A \right| = 28$ ; - множество студентов, изучающих немецкий язык $\left| H \right| = 30$ , - множество студентов, изучающих французский язык, $\left| Ф \right| = 42$ .

Соответственно множества студентов, изучающих по 2 или 3 иностранных языка заданы следующим образом: $\left| А \cap Н \right| = 8, \left| А \cap Ф \right| = 10, \left| H \cap Ф \right| = 5, \left| А \cap Н \cap Ф \right| = 3$ .

- множество студентов, изучающих иностранные языки.

$\left| Y \right| = \left| A \right| + \left| H \right| + \left| Ф \right| - \left| А \cap Н \right| - \left| А \cap Ф \right| - \left| Н \cap Ф \right| + \left| А \cap Н \cap Ф \right| = \\ 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80$

- множество студентов, не изучающих иностранный язык.

$\left| X \right| = 100 - 80 = 20.$

Векторы и прямые произведения

Векторы. Проекция вектора

Вектор (или кортеж) - это упорядоченный набор элементов. Например, (0; 1; 3) . Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора (размерность).

Координаты вектора могут совпадать (0; 5; 4; 5) .

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты: (а_1, а_2, ....., а_m) и (b_1, b_2, ...., b_n)

m = n, a_1 = b_1, a_2 = b_2, ....., a_m = b_n .

Проекцией вектора на ось ( пр_i V ) называется его i-я компонента. V = (a; b; c; d), пр_2 V = (b).

Проекцией вектора V = (a_1, a_2, ...., a_n) на оси с номерами i_1, i_2,...., i_k называется вектор $(a_{i1}, a_{i2}, ...., a_{ik})$ длины $k: пр_{i1,..,ik} V$ .

Пример: $V = \left\{ {(a; b; d); (c; b; d); (d; b; b)} \right\}$ ,

$пр_1 V = \left\{ {a, c, d} \right\},$

$пр_2 V = \left\{ {b} \right\},$

$пр_{2,3} V = \left\{ {(b,d); (b, b)} \right\}.$

Прямое произведение

Прямым (декартовым) произведением множеств и ( $A \times B$ ) называется множество всех векторов (a; b) , таких, что $a \in А, b \in В$ :

$A \times B = \left\{ { x : x = (a; b), a \in А, b \in В} \right\}.$

Если A = B , то $A \times A = A^2$ . Аналогично для нескольких множеств. Прямым произведением множества $A_1 \times A_2 \times .... \times A_m$ называется множество всех векторов длины , таких, что $a_1 \in А_1, a_2 \in А_2, ...., a_m \in A_m (a_1, a_2, ..., a_m)$ .

$A_1 \times A_2 \times .... \times A_m = \left\{ {x: x=(a_1, a_2, ..., a_m), a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, ..., a_m \in A_m} \right\}.$

Примеры.

Множество $R \times R=R^2$ - множество точек плоскости, точнее пар вида , где $a, b \in R$ и являются координатами.
$A = \left\{ {a, b, c, d, e, f, g, h} \right\}, B = \left\{ {1, 2, .., 8} \right\}$ .
Тогда $A \times B = \left\{ { (a; 1), (a; 2), ..., (d; 7), (d; 8), ... (h; 7), (h; 8)} \right\}$ - множество всех 64 клеток шахматной доски.
- множество букв, символов, знаков препинания и т. д. Тогда элементы множества - слова длины . Множество всех слов $A^* = \cup A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup...; i \in N$ составляет язык.
$X = \left\{ {2, 3} \right\}, Y = \left\{ {a, b} \right\}. \\ X \times Y = \left\{ {(2; a), (2; b), (3; a), (3; b)} \right\}.\\ Y \times X = \left\{ {(a; 2), (a; 3), (b; 2), (b; 3)} \right\}$ .
Следовательно, $X \times Y \ne Y \times X$ .

Теорема о мощности прямого произведения

Тогда мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е. $\left| A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n \right| = m_1 \cdot m_2 \cdot ... \cdot m_n$ .

Доказательство методом математической индукции.

Для n = 1 теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для n = k и докажем ее справедливость для n = k+1 .

По предположению $\left| A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_k \right| = m_1 m_2... m_k$ . Возьмем любой вектор (a_1, a_2, ... a_k) из $A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_k$ и припишем справа элемент $a_{k+1} \in A_{k+1}$ . Это можно сделать $m_{k+1}$ способом, т. е. получим $m_{k+1}$ различных векторов из $A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_{k+1}$ .

Таким образом, из всех m_1 m_2 ... m_k векторов приписыванием справа элемента из $A_{k+1}$ можно получить $m_1 m_2 ... m_{k+1}$ векторов, причем все они различны. Поэтому для n=k+1 теорема верна и, следовательно, верна для любых .