|
Курс Дискретная математика |
ДМ (личная):
Дискретная математика
: Информация
Опубликован: 24.11.2009 | Уровень: для всех | Доступ: свободно
Дискретная математика - одна из важнейших составляющих современной математики. С одной стороны, она включает фундаментальные основы математики - теорию множеств, математическую логику, теорию алгоритмов; с другой стороны, является основным математическим аппаратом информатики и вычислительной техники и потому служит базой для многочисленных приложений в экономике, технике, социальной сфере.
В отличие от традиционной математики (математического анализа, линейной алгебры и др.), методы и конструкции которой имеют в основном числовую интерпретацию, дискретная математика имеет дело с объектами нечисловой природы: множествами, логическими высказываниями, алгоритмами, графами. Благодаря этому обстоятельству дискретная математика впервые позволила распространить математические методы на сферы и задачи, которые ранее были далеки от математики. Примером могут служить методы моделирования различных социальных и экономических процессов.
Знание теории множеств, алгебры, математической логики и теории графов совершенно необходимо для четкой формулировки понятий и постановок различных прикладных задач, их формализации и компьютеризации, а также для усвоения и разработки современных информационных технологий. Понятия и методы теории алгоритмов и алгебры логики лежат в основе современной теории и практики программирования.
Курс предусматривает изучение: языка дискретной математики, таких ее основных понятий, как множества, функции, отношения; основ комбинаторики, элементов общей алгебры; введения в математическую логику; теории графов.
Цель: Дать представление о теоретических основах современных информационных технологий;
научить пользоваться методами дискретной математики (в частности, методами комбинаторики, теории отношений, теории графов, математической логики) для формализации и решения прикладных задач.
Необходимые знания: Изучение курса не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы.
План занятий
| Занятие | Заголовок << | Дата изучения |
|---|---|---|
| - | ||
Лекция 1 | Множества. Операции над множествами
Понятие множества. Примеры множеств. Элемент множества. Подмножество. Мощность конечного множества. Пустое множество. Равенство множеств. Универсальное множество. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Способы задания множеств: с помощью списка, с помощью характеристического свойства, с помощью порождающей процедуры. Система подмножеств множества. Алгебра (под)множеств и ее законы. Изменение мощности множеств при операциях над множествами. Векторы (кортежи), прямое произведение, проекция.
Оглавление
| - |
Лекция 2 | Множества. Соответствие. Мощность. Примеры. Понятие функции
Понятие множества. Примеры множеств.
Понятие соответствия. Образ и прообраз. Область определения и область значения соответствия.
Всюду определенное соответствие. Сюръективное соответствие.
Однозначное (функциональное) соответствие. Обратное соответствие.
Обратимое соответствие. Взаимно однозначное соответствие (1-1-соответствие, биекция).
Мощность бесконечного множества. Равномощность бесконечного множества своему подмножеству. Счетные множества. Несчетные множества (континуум).
Понятие функции. Область определения и область значения функции. Обратная функция. Функции многих аргументов.
Оглавление
| - |
Лекция 3 | Функции. Способы задания. Отношения
Тип функции. Суперпозиция функций. Способы задания функции: с помощью формулы, свойством значений, с помощью порождающей процедуры, с помощью таблицы, с помощью программы (конструктивные и неконструктивные функции). Понятие отношения. Бинарные отношения. Свойства отношений: рефлексивность, антирефлексивность,
симметричность, антисимметричность, транзитивность. Транзитивное замыкание отношения. Обратное отношение. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Отношение строгого и нестрогого порядка. Отношение линейного и частичного порядка. Лексикографический порядок векторов.
Оглавление
| - |
Тест 136 минут | - | |
Лекция 4 | Комбинаторика. Комбинаторные задачи
Основные объекты комбинаторики. Типы комбинаторных задач. Правило суммы и правило произведения. Формула включения и исключения. Размещения с повторениями. Размещения без повторений. Перестановки. Сочетания без повторений. Бином Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.
Оглавление
| - |
Лекция 5 | Комбинаторика. Сочетания с повторениями. Задача перечисления. Двумерные выборки
Сочетания с повторениями. Задача перечисления выборок, лексикографический порядок. Двумерные выборки. Таблицы функций. Понятие алгебры. Замкнутые операции. N-арные операции, бинарные операции, арность операции. Тип алгебры, сигнатура.
Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность слева, дистрибутивность справа. Два вида процедур в алгебре: вычисление формул и преобразование формул.
Оглавление
| - |
Тест 236 минут | - | |
Лекция 6 | Изоморфизм, гомоморфизм. Алгебры
Изоморфизм алгебр. Гомоморфизм алгебр. Полугруппа. Единица полугруппы. Моноид. Группа. Обратный элемент. Способ задания (полу)групп: с помощью бинарной таблицы и с помощью образующих. Решетка. Наименьшая верхняя грань, наибольшая нижняя грань. Единственность максимального и единственность минимального элемента. Единица решетки и нуль решетки. Решетка подмножеств любого множества.
| - |
Лекция 7 | Математическая логика. Логические функции
Высказывание. Логические связки: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, разделительное "или", эквивалентность. Таблицы истинности для логических функций. Логические функции от нуля переменных (константы), от одной переменной, от двух переменных. Применение к переключательным схемам. Алгебра логических функций. Вычисление логических функций.
| - |
Тест 336 минут | - | |
Лекция 8 | Математическая логика. Булева алгебра. Алгебра Жегалкина
Проблема полноты. Функционально полная система функций (в сильном смысле и в слабом смысле). Эквивалентности формул. Алгоритм перехода от таблицы функции к формуле (построение СДНФ). Булева алгебра и ее законы. Изоморфизм булевых алгебр (алгебры множеств и алгебры логических функций). Функциональная полнота некоторых систем функций.
Алгебра Жегалкина. Функциональная полнота алгебры Жегалкина. Ортогональные функции.
Монотонные функции.
Оглавление
| - |
Лекция 9 | Классы логических функций. Понятие предиката
Классы логических функций. Монотонные функции. Линейные функции.
Отношение двойственности функций. Функции, двойственные самим себе (самодвойственные функции). Функции, сохраняющие нуль. Функции, сохраняющие единицу. Понятие предиката. Кванторы.
| - |
Лекция 10 | Логика предикатов. Графы, общие определения
Кванторы всеобщности и существования. Связанные переменные. Область действия квантора. Эквивалентные соотношения в логике предикатов. Чистая логика предикатов и прикладные логики предикатов. Понятия графа. Классификация графов: по наличию ориентирования ребер (неориентированный и ориентированный графы), по наличию кратности ребер (простой граф и мультиграф). Отношение смежности между вершинами, матрица смежности.
Отношение инцидентности между вершинами и ребрами. Степень вершины. Изолированные вершины, висячие вершины. Пустой граф, полный граф.
Оглавление
| - |
Тест 436 минут | - | |
Лекция 11 | Теория графов. Основные понятия
Матрица смежности, степень вершины.
Подграф и часть графа. Звезда вершины графа. Полный граф. Клика. Максимальный и минимальный (относительно некторого свойства) подграф. Изоморфизм графов.
Неориентированные графы. Путь, цепь, простая цепь, цикл. Связанные вершины. Связный граф. Компоненты связности. Длина пути. Расстояние между вершинами в связном графе. Аксиомы метрики (расстояния).
Оглавление
| - |
Лекция 12 | Теория графов. Основные понятия (продолжение)
Радиус графа, центры графа. Эйлеров обход. Задача о кенигсбергских мостах.
Алгоритм построения эйлерова цикла. Задача о гамильтоновом обходе (задача коммивояжера).
Ориентированные графы (орграфы). Ориентированный путь, ориентированный цикл. Достижимость. Виды связности: сильная связность, односторонняя связность, слабая связность.
Компонента сильной связности. Конденсация, граф конденсации.
Ациклический граф. Источники и стоки. Топологическая сортировка.
Оглавление
| - |
Лекция 13 | Деревья. Оптимизационные задачи на графах. Задача о кратчайшем пути
Неориентированные деревья. Ориентированные деревья.
Применение деревьев: классификация, представление формул, бинарное дерево поиска.
Оптимизационные задачи на графах. Взвешенные (нагруженные) графы. Задача о кратчайшем пути в неориентированном графе без весов. Ранжирование вершин. Задача о кратчайшем пути в взвешенном графе. Алгоритм Дейкстры.
Оглавление
| - |
Лекция 14 | Оптимизационные задачи на графах. Сетевое планирование. Потоки в сетях
Сетевой график. Задача поиска максимальных путей в графе.
Понятия раннего срока и позднего срока. Критический путь. Виды резерва: полный резерв, свободный резерв, независимый резерв. Потоки в сетях. Понятие потока, величина потока. Закон Кирхгофа. Увеличивающаяся цепь.
| - |
Лекция 15 | Оптимизационные задачи на графах. Алгоритм поиска увеличивающей цепи
Алгоритм поиска увеличивающей цепи. Разрезы. Пропускная способность разреза.
| - |
Лекция 16 | Матричные методы анализа графов. Графы и бинарные отношения
Матричные методы анализа графов. Степень матрицы смежности графа. Сумма степеней матрицы смежности, достижимость и связность. Транзитивное замыкание. Графы и бинарные отношения. Отношения эквивалентности и отношения порядка в терминах графов. Матричные методы анализа мультиграфов. Двудольные графы. Задача о раскраске графа.
| - |
Тест 536 минут | - | |
5 часов | - |
Игорь Орещенков
|
По-моему, 4-й тест невозможно пройти без знания метода построения полинома Жегалкина по таблице логической функции. К сожалению, в лекциях этот вопрос не освещён. Вот ссылка на статью "Что нам стоит полином Жегалкина построить…", где этот вопрос освещён кратко и наглядно: https://habrahabr.ru/post/275527/ |
