НОУ ИНТУИТ | Автоматизированное проектирование промышленных изделий. Лекция 13: Математические модели (ММ) на различных иерархических уровнях

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина

Опубликован: 20.01.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2346 / 526 | Оценка: 4.14 / 3.69 | Длительность: 27:06:00

Темы: САПР, Аппаратное обеспечение

Специальности: Архитектор программного обеспечения, Разработчик аппаратуры

|

Вам нравится? Нравится 47 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Математические модели с использованием сетей Петри

Сети Петри являются эффективным инструментом дискретных процессов. Их особенность заключается в возможности отображения параллелизма, асинхронности и иерархичности.

На рис. 13.3 приводится сеть Петри, где - конечное непустое множество позиций (состояний); - конечное непустое множество переходов (событий), причем $p \in P$ и $t_{i}\in T$ ; $F: Р \times Т - \{0, 1, 2, ...\}$ ; $Н: Т \times Р \to \{0, 1, 2, ...\}$ - функции входных и выходных инциденций; $\mu_{0} : Р \to \{0, 1, 2, ...\}$ - начальная маркировка. Вершины сети $p \in P$ изображены кружками, а вершины $t_{i} \in T$ - черточками (баркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции $\mu: Р \to \{0, 1, 2, ...\}$ . Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход может сработать при маркировке $\mu$ , если он является возбужденным:

$\mu (P) - F(P,t)\ge 0, \forall p \in P.$

( 13.10)

Данное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода , удовлетворяющего условию (13.10), маркировку $\mu$ заменяют маркировкой $\mu'$ по следующему правилу:

$\mu'(p) = \ mu(p) - F(p,t) + H(t,p), \forall p \in P.$

( 13.11)

Это означает, что маркировка $\mu'$ непосредственно достижима из маркировки $\mu$ . Функционирование сети Петри - последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов.

Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика сети Петри - граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети.

Такой граф имеет вершины, которые являются возможными маркировками. Маркировки $\mu$ и $\mu'$ соединяются в направлении дугой, помеченной символами перехода $t \in T$ или $\mu^t\to\mu'$ . Маркировка $\mu'$ такая последовательность переходов: х = t_1, t_2, ..., t_k является достижимой из маркировки $\mu$ , если существует, что $\mu^{t1}\to\mu'^{t2}\to... \mu^{tk}\to\mu$ .

В качестве примера рассмотрим сеть Петри, изображенную на рис. 13.3

$N = (P,T, F, H, \mu_{0})$ , где $P = \{P_1, P_2, P_3, P_4, P_{5}\}$ ;

Рис. 13.3. Сеть Петри

$T=\{t_1, t_2, t_3, t_4, t_5\}$ ; $\mu_{0} = (1, 1, 0, 0, 0)$ . Функции и заданы матрицами:

$H = \begin{array}{cccccc} &P_1&P_2&P_3&P_4&P_5\\ t_1&0&0&1&2&0\\ t_2&1&0&0&0&1\\ t_3&1&1&0&0&0\\ t_4&0&0&0&1&0 \end{array};\;\; F = \begin{array}{ccccc} &t_1&t_2&t_3&t_4\\ P_1&1&0&0&0\\ P_2&1&0&0&0\\ P_3&1&1&0&0\\ P_4&0&0&1&0\\ P_5&0&0&0&1\\ \end{array}\\$

Фрагмент графа достижимости для сети Петри приведен на рис. 13.4.

Рис. 13.4. Фрагмент графа достижимости сети Петри

13.3. Структурные модели

Структурные, или структурно-логические, модели подразделяются на табличные, сетевые и перестановочные. Сетевые определяются строками булевой матрицы.

$[S_i\times F(S)] = \begin{array}{ccccc} F_g& F_a& F_\lambda& F_n& \\ 1& 1&1&1&S_1\\ 1& 1&1&0&S_2\\ 1& 1&0&1&S_3\\ 1& 1&0&0&S_4\\ 1&0&1&0&S_5\\ 1& 0&0&0&S_6\\ 0& 1&1&1&S_7\\ 0& 1&1&0&S_8\\ 0& 1&0&1&S_9\\ 0& 1&0&0&S_{10}\\ 0& 0&1&0&S_{11}\\ 0& 0&0&0&S_{12}\\ \end{array}$

Здесь $S_{i}$ - свойства моделей, влияющих на содержание проектирования; F(S) - набор свойств, если все графы объектов А_{к}, проектируемых по данной модели, простые пути или цепи, $F_{g} = 1$ и $F_{g} = 0$ в противном случае; $F_{n}$ - набор свойств, учитывающих число элементов во всех вариантах объектов $A_{k}$ .

( $F_{n} = 1$ - число элементов во всех $a_{i}$ одинаково , $F_{n} = 0$ - в противном случае); $F_{\lambda }$ - набор свойств, учитывающих отношения между любыми элементами объекта $a_{i}a_{j} \in А_{k}$ во всех вариантах объектов $А_{k}$ ( $F_{\lambda } = 1$ - отношение не меняется, $F_{\lambda } = 0$ - в противном случае); $F_{а}$ - набор свойств, учитывающих состав элементов $a_{i}$ в $А_{k}$ ( $F_{а} = 1$ - состав одинаков, $F_{а} = 0$ в противном случае).

В матрице (13.2) модели класса называют табличными. В табличной модели каждому набору свойств $F(А_{k})$ соответствует единственный вариант проектируемого объекта $А_{k}$ , поэтому табличные модели используют для поиска стандартных, типовых и готовых решений. Модели остальных классов применяют для получения типовых унифицированных и индивидуальных проектных решений при наличии их вариантов и необходимости оптимизации решения. Модели классов $S_{2}$ , $S_{5}$ , $S_{7},$ $S_{8}$ И $S_{11}$ называют сетевыми .Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В этой модели может содержаться несколько вариантов проектируемого объекта $А_{k}$ , однако во всех вариантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Модели классов $S_{3}$ , $S_{4},$ $S_{6 }$ , $S_{9}$ $, S_{10}$ и $S_{12}$ называют перестановоч ными.Соотношение порядка между эл ементами проектируемого объекта $А_{k}$ в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентировочные циклы, причем все варианты объектов $А_{k}$ , проектируемые по перестановочным моделям, различаются порядком между элементами, входящими в них.

Объектом проектирования $А_{k}$ может быть технологический процесс, операция или технологический переход. Если рассматривать технологический процесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектировании операции элементами будут технологические переходы.

Если $А_{k }$ должен содержать фиксированный набор элементов $a_{i} \in А_{k}$ ,то

$A = a_1 \wedge a_2 \wedge , … , \wedge a_i \wedge , … , \wedge a_n = \bigwedge\limits_{i=1}^n{a_i}$

если $А_{k }$ может содержать любой элемент $a_{i} \in А_{k }$ ,то

$A = a_1 \vee a_2 \vee , … , \vee a_i \vee , … , \vee a_n = \bigvee\limits_{i=1}^n{a_i}$

если какой-либо единственный элемент $a_{i} \in А_{k }$ ,то

$A = a_1 \bigtriangledown a_2 \bigtriangledown , … , \bigtriangledown a_i \bigtriangledown , … , \bigtriangledown a_n = \bigtriangledown\limits_{i=1}^n{a_i}$

При разработке группы элементов с помощью табличной модели устанавливается последовательность этой разработки. Каждый элемент имеет варианты $F_1, F_{2}, ...., F_{8}$ с определенными свойствами, поэтому состав свойств вариантов, относящихся к группе элементов, будет

$F(A) = (F_1 \wedge F_2 \wedge F_4 \wedge F_8) \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7$

Если ввести совокупность свойств более высокого уровня:

$F'_1 = \{ F_1 , F_2 , F_4 , F_8\}$ , то получим

$F'(A) = F'_1 \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7,$

а если совокупность свойств элементов 1, 2, 3-й групп (соответственно, элементам $а_{1}$ , $а_{2}$ , $а_{3}$ группы деталей, т.е. $а_{1} ,а_{2} ,а_{3 }\in А$ ), то получим

$F''_1 = F(a_1) = \{ F_1 F_2 F_3 F_4 F_5 F_6 F_7 F_8\};\\ F''_2 = F(a_2) = \{ F_1 F_2 F_3 F_4 F_7 F_8\};\\ F''_3 = F(a_3) = \{ F_1 F_2 F_4 F_8\};\\ F''(A) = F''_1 \bigtriangledown F''_2 \bigtriangledown F''_3$

Контрольные вопросы

В чем сущность блочно-иерархического подхода к проектированию?
Как составляется полная модель?
Что характерно для макромодели?
Что представляют собой сети Петри?
Какие модели называют табличными?
Для чего используют табличные модели?
Что называется сетевой моделью?
Как описывается структура сетевых моделей?
Что называется перестановочной моделью?

Дальше >>

Авторизоваться

Автоматизированное проектирование промышленных изделий

Математические модели (ММ) на различных иерархических уровнях

Математические модели с использованием сетей Петри

13.3. Структурные модели

Контрольные вопросы

Вопросы и ответы