Экономико-математические модели и принятие решений

Принятие решений в задачах логистики

Термин "логистика" происходит от французского слова "loger" (размещение, расквартирование), которое употребляется в военной терминологии для определения движения военных грузов, их складирования и размещения, а также для описания процесса размещения и расквартирования военных подразделений. В настоящее время термин "логистика" широко используется в деловом мире и определяет теорию и практику движения сырья, материалов, комплектующих изделий, производственных, трудовых и финансовых ресурсов, готовой продукции от их источников к потребителям.

ЛОГИСТИКА - наука о планировании, управлении и контроле за движением материальных, информационных и финансовых ресурсов в различных производственно-экономических системах. Предметом логистики является комплексное управление всеми материальными и нематериальными потоками в таких системах. Новизна концепции логистики в области управления промышленными системами состоит во всестороннем подходе к вопросам движения материальных благ в процессе производства и управления. Логистическая система должна охватывать и согласовывать процессы производства, закупок и распределения продукции, а также быть основой при стратегическом планировании и прогнозировании. Итак, логистика - это экономическая дисциплина, занимающаяся оптимальной организацией материальных, финансовых и информационных потоков.

Одна из основных частей логистики - теория управления запасами. Сколько товара держать на складе? Много - будут омертвляться оборотные средства, вложенные в запас. Мало - слишком часто надо будет заниматься получением новых партий товара и нести соответствующие расходы. Значит, надо рассчитать и использовать оптимальный размер запаса. А для этого необходимо построить соответствующую математическую модель.

Управление запасами (другими словами, материально-техническое снабжение) - неотъемлемая часть работы фирм и организаций. Речь идет о запасах сырья, топлива, материалов, инструментов, комплектующих изделий, полуфабрикатов, готовой продукции на промышленном (или сельскохозяйственном) предприятии, о запасах товаров на оптовых базах, складах магазинов, на рабочих местах продавцов, наконец, у потребителей. Запасы постоянно расходуются и пополняются по тем или иным правилам, принятым на предприятии. Оптимизация этих правил, т.е. оптимальное управление запасами, дает большой экономический эффект.

Математическая теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований, получившей свое развитие, в основном, начиная с пятидесятых годов ХХ века. Предложенная, видимо, еще в 1915 г. Ф.Харрисом классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона (в связи с тем, что получила известность после публикации работы Р.Г. Вильсона в 1934 г.), является одним из наиболее простых и наглядных примеров применения математического аппарата для принятия решений в экономической области. В то же время формула оптимального размера заказа, полученная в модели Вильсона, широко применяется на различных этапах производства и распределения продукции, поскольку оказывается практически полезной для принятия решений при управлении запасами, в частности, приносящей заметный экономический эффект . Рассмотрим эту модель подробнее.

Классическая модель управления запасами. Пусть - величина запаса некоторого товара на складе в момент времени . Дефицит не допускается, т.е. при всех . Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью , т.е. за интервал времени со склада извлекается и поступает потребителям часть запаса величиной .В моменты времени пополняется запас на складе - приходят поставки величиной соответственно. Таким образом, изменение во времени величины запаса товара на складе изображается зубчатой ломаной линией (рис. 13.1), состоящей из наклонных и вертикальных звеньев, причем наклонные отрезки параллельны.

Таким образом, в момент t_i величина запаса на складе скачком увеличивается на . Следовательно, функция имеет разрывы в точках Для определенности будем считать, что эта функция непрерывна справа.

Рис. 13.1. График изменения величины запаса на складе

Пусть - плата за хранение единицы товара в течение единицы времени. Поскольку можно считать, что величина запаса не меняется в течение интервала времени , где - дифференциал, т.е. бесконечно малая, то плата за хранение всего запаса в течение этого интервала времени равна . Следовательно, затраты за хранение в течение интервала времени [0;T), где - интервал планирования, пропорциональны (с коэффициентом пропорциональности ) площади под графиком уровня запаса на складе и равны

Пусть - плата за доставку одной партии товара. Примем для простоты, что она не зависит от размера поставки. Позже покажем, что если эта плата равна , где - размер поставки, то оптимальный план поставки - тот же, что и при отсутствии линейного члена. Будет проанализирована и более сложная модель, в которой предусмотрена скидка с ростом поставки, приводящая к выражению для платы за доставку одной партии товара размером .

Пусть - количество поставок, пришедших в интервале . При этом включаем поставку в момент и не включаем поставку в момент (если такая поставка происходит). Тогда суммарные издержки на доставку товара равны . Следовательно, общие издержки (затраты, расходы) за время равны

Запись означает, что общие издержки зависят от значений функции при всех . Символ у обозначает функцию как целое. Другими словами, область определения при фиксированном - не множество чисел, а множество функций.

Общие издержки, очевидно, возрастают при росте горизонта планирования . Поэтому часто используют средние издержки, приходящиеся на единицу времени. Средние издержки за время равны

Поскольку товар отпускается со склада с постоянной интенсивностью (скоростью), дефицит не допускается, то доходы от работы склада пропорциональны горизонту планирования, средние доходы постоянны. Следовательно, максимизация прибыли эквивалентна минимизации издержек или средних издержек.

Если задать моменты прихода поставок и величины партий, то будет полностью определена функция при всех . Верно и обратное - фиксация функции , рассматриваемого вида (рис. 13.1) полностью определяет моменты прихода поставок и величины партий. И то, и другое будем называть планом поставок или планом работы системы управления запасами. Для ее оптимизации необходимо выбрать моменты времени пополнения запаса на складе и размеры поставляемых партий товара так, чтобы минимизировать средние издержки при фиксированном . Модель производственной ситуации (т.е. работы склада) описывается четырьмя параметрами - (интенсивность спроса), (стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени), (стоимость доставки партии товара), (горизонт планирования).

Решение задачи оптимизации. Поставленная задача оптимизации работы склада интересна тем, что неизвестно число параметров, определяющих план поставок. Поэтому ее решение не может быть проведено с помощью стандартных методов теории оптимизации.

Решим эту задачу в три этапа. На первом установим, что оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, т.е. запас равен 0 в момент доставки очередной партии. Цель второго этапа - доказать, что все зубцы должны быть одной и той же высоты. Наконец, на третьем находим оптимальный размер поставки.

Оптимальный план. Найдем наилучший план поставок. План, для которого запас равен 0 (т.е. ) в моменты доставок очередных партий, назовем напряженным.

Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.

Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному плану, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту прихода поставки уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до (где знак "минус" означает предел слева функции в точке ). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты и . А именно, заменим на , а на . Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале , достигнув 0 в , и не изменится правее точки . Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности ) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (см. рис. 13.2).

Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени заменяется на . Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке оси абсцисс.

Рис. 13.2. Первый шаг перехода к напряженному плану

Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным).

Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных планов. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.

Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны.

При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.

Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

Действительно, очередная поставка величиной совпадает с размером запаса на складе в момент , расходуется с интенсивностью единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту прихода следующей поставки.

Для напряженного плана издержки по хранению равны

где Ясно, что - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие . Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации

где

Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные

Тогда

Поскольку

то следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при Тогда

При этих значениях выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны