НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 6: Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 663 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00

Специальности: Программист

Теги: beta, базисными векторами, безопасность, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, книги, линейное программирование, модель задач, обобщенный полином, оптимальное решение задачи, поддержка, программирование, рабочая книга, свойства множества, теория, форматы, число независимости

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Оценивание знакопеременных задач с позиномами

В этом разделе будет показано, как можно свести задачу ГП с ограничениями на знакопеременные полиномы к обратной задаче ГП.

Введем определение. Знакопеременным полиномом (сигномом) называется (обобщенный) полином

$f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x}_{j}^{a_{ij}},\ x_j>0,\ a_{ij}\in\mathbb{R},\ c_i\in \mathbb{R},$

( 87)

который отличается от позинома тем, что коэффициенты c_i могут быть отрицательными. Члены знакопеременного полинома удобно располагать так, чтобы первыми в сумме стояли члены с положительными коэффициентами c_i (если такие имеются).

Рассмотрим преобразование ограничений на знакопеременные полиномы в ограничения на позиномы, описанное, например, в [5].

Ясно, что любой знакопеременный полином представляет собой либо позином, либо позином, взятый со знаком минус, либо разность двух позиномов. Любое ограничение на знакопеременный полином может быть представлено в одном из трех видов:

$f(x) \leq -1,\quad f(x) \leq 0,\quad f(x)\leq 1.$

( 88)

Если целевая функция является сигномом, то сначала ее надо преобразовать путем введения новой положительной дополнительной переменной, появится дополнительное ограничение. Опустим это преобразование, предположив, что рассматривается задача, у которой целевая функция - позином. Итак, пусть требуется минимизировать позином g_0(x) при ограничениях на знакопеременные полиномы:

$f_1(x) \leq -1,\quad f_2(x) \leq 0,\quad f_3(x)\leq 1.$

Если f_1(x) - позином, то ограничение $f_1(x) \leq -1$ не может быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна (противоречива). Если f_1(x) - позином с отрицательным знаком, то это ограничение эквивалентно ограничению $-f_1(x)\geq 1$ , которое имеет второй из требуемых видов, указанных в (88), следовательно, остается рассмотреть случай, когда f_1(x) представляет собой разность двух позиномов.

Если f_2(x) - позином, то ограничение $f_2(x) \leq 0$ не может быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна (противоречива). Если f_2(x) - позином с отрицательным знаком, то это ограничение удовлетворяется автоматически и может быть исключено из рассмотрения, следовательно, остается рассмотреть случай, когда f_2(x) представляет собой разность двух позиномов.

Если f_3(x) - позином, то ограничение $f_3(x) \leq 1$ имеет первый из требуемых видов, указанных в (88). Если f_2(x) - позином с отрицательным знаком, то это ограничение удовлетворяется автоматически и может быть опущено, следовательно, остается рассмотреть случай, когда f_3(x) представляет собой разность двух позиномов.

Таким образом, предположим, что нужно минимизировать позином g_0(x) при ограничениях

$h_1(x) - h_2(x) \leq 1,$

( 89)

$h_3(x) - h_4(x) \leq -1,$

( 90)

$h_5(x) - h_6(x) \leq 0,$

( 91)

где h_i - позиномы, $i=\overline{1,6}$ .

Введем дополнительный вектор $t=(t_1,\ t_2,\ t_3)>0$ . Вектор является допустимым решением этих ограничений тогда и только тогда, когда имеются положительные значения для $t_1,\ t_2,\ t_3$ такие, что дополненный вектор (x, t_1, t_2, t_3) является допустимым решением, удовлетворяющим ограничениям

$\begin{array}{lcrcl} h_1(x)&\leq&t_1&\leq&h_2(x) + 1, \\ 1 + h_3(x)&\leq&t_2&\leq&h_4(x), \\ h_5(x)&\leq&t_3&\leq&h_6(x), \end{array}$

следовательно, получим шесть ограничений:

$h_1(x) t_{1}^{-1}\leq 1,$

( 92)

$h_2(x) t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}\geq 1,$

( 93)

$t_{2}^{-1}+h_3(x) t_{2}^{-1}\leq 1,$

( 94)

$h_4(x) t_{2}^{-1}\geq 1,$

( 95)

$h_5(x) t_{3}^{-1}\leq 1,$

( 96)

$h_6(x) t_{3}^{-1}\geq 1.$

( 97)

Таким образом, получили обратную задачу ГП:

$g_{0}(x)\rightarrow\min$

при ограничениях

$\begin{array}{lcr} h_1(x) t_{1}^{-1}&\leq& 1, \\ t_{2}^{-1}+h_3(x) t_{2}^{-1}&\leq& 1, \\ h_5(x) t_{3}^{-1}&\leq& 1, \\ h_4(x) t_{2}^{-1}&\geq& 1, \\ h_2(x) t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}&\geq& 1, \\ h_6(x) t_{3}^{-1}&\geq& 1. \end{array}$

Рассмотрим пример.

Пример 44 Преобразуем задачу с ограничениями на сигномы вида

$g_{0}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}+0.2 x_{1}^{2}x_{2}+7 x_{2}^{3}x_{3}^{-1}\rightarrow\min$

при ограничениях

$f_{1}(x)&= &2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} + 6 x_{3}^{-4} - 3.5 x_{1}^{-1}x_{3} - 9 x_{2}x_{3}^{-4}&\leq& \phantom{-}1,\\ f_{2}(x)& =& 5 x_{1}^{6}+4 x_{2}^{5} - x_{1}x_{3}^{-0.4}-x_{1}^{-3}x_{2}x_{3}^{0.5}-x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}&\leq& -1, \\ f_{3}(x) &=&x_{1}^{2}x_{2}^{-2}x_{3}^{2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2}+x_{3}^{-1} - 4 x_{1}^{3}x_{2}^{3}-2 x_{2}^{-2}x_{3}^{-2}&\leq& \phantom{-}0$

в обратную задачу ГП.

Ограничение на сигном $f_{1}(x)$ имеет вид (89), здесь $h_{1}(x) =2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} + 6 x_{3}^{-4}$ , $h_{2}(x) = 3.5 x_{1}^{-1}x_{3} + 9 x_{2}x_{3}^{-4}$ . Ограничение на $f_{1}(x)$ порождает два ограничения вида (92) и (93):

$(2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} + 6 x_{3}^{-4}) t_{1}^{-1}\leq 1,$

$(3.5 x_{1}^{-1}x_{3} + 9 x_{2}x_{3}^{-4}) t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}\geq 1.$

Здесь t_1 - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

$h_1(x) \leq t_1 \leq h_2(x) + 1.$

Ограничение на сигном $f_{2}(x)$ имеет вид (90), здесь $h_{3}(x) = 5 x_{1}^{6}+4 x_{2}^{5}$ , $h_{4}(x) = x_{1}x_{3}^{-0.4}+x_{1}^{-3}x_{2}x_{3}^{0.5}+x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}$ . Ограничение на $f_{2}(x)$ порождает два ограничения вида (94) и (95):

$t_{2}^{-1} +(5 x_{1}^{6}+4 x_{2}^{5}) t_{2}^{-1}\leq 1,$

$(x_{1}x_{3}^{-0.4}+x_{1}^{-3}x_{2}x_{3}^{0.5}+x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}) t_{2}^{-1}\geq 1.$

Здесь t_2 - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

$1 + h_3(x)\leq t_2 \leq h_4(x).$

Ограничение на сигном $f_{3}(x)$ имеет вид (91), здесь $h_{5}(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{-2}x_{3}^{2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2}+x_{3}^{-1}$ , $h_{6}(x)=4 x_{1}^{3}x_{2}^{3}+2 x_{2}^{-2}x_{3}^{-2}$ . Ограничение на $f_{3}(x)$ порождает два ограничения вида (96) и (97):

$(x_{1}^{2}x_{2}^{-2}x_{3}^{2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2}+x_{3}^{-1}) t_{3}^{-1}\leq 1,$

$(4 x_{1}^{3}x_{2}^{3}+2 x_{2}^{-2}x_{3}^{-2}) t_{3}^{-1}\geq 1.$

Здесь t_3 - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

$h_5(x)\leq t_3 \leq h_6(x).$

Таким образом, получили обратную задачу ГП:

$g_{0}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}+0.2 x_{1}^{2}x_{2}+7 x_{2}^{3}x_{3}^{-1}\rightarrow\min$

при ограничениях

$\begin{array}{lcl} 2 x_{1}^{0.5} x_{2}^{-0.5} t_{1}^{-1} + 6 x_{3}^{-4} t_{1}^{-1}&\leq& 1, \\ t_{2}^{-1} + 5 x_{1}^{6} t_{2}^{-1}+4 x_{2}^{5} t_{2}^{-1}&\leq& 1, \\ x_{1}^{2} x_{2}^{-2} x_{3}^{2} t_{3}^{-1} + 3 x_{1}^{-1} x_{2} t_{3}^{-1}+x_{3}^{-1} t_{3}^{-1}&\leq& 1, \\ 3.5 x_{1}^{-1} x_{3} t_{1}^{-1} + 9 x_{2} x_{3}^{-4} t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}&\geq& 1, \\ x_{1} x_{3}^{-0.4} t_{2}^{-1}+x_{1}^{-3} x_{2} x_{3}^{0.5} t_{2}^{-1}+x_{1}^{-1} x_{3}^{-1} t_{2}^{-1}&\geq& 1, \\ 4 x_{1}^{3} x_{2}^{3} t_{3}^{-1}+2 x_{2}^{-2} x_{3}^{-2} t_{3}^{-1}&\geq& 1. \end{array}$

Обратную задачу ГП можно аппроксимировать прямой задачей ГП при помощи преобразований, описанных в предыдущем разделе.

Краткие итоги

Описаны простейшие методы преобразования определенного класса задач оптимизации в задачи ГП. Приведена постановка обратной задачи ГП. Объяснено, как можно аппроксимировать обратную задачу ГП прямой. Приведена постановка знакопеременной задачи ГП, показано, как можно преобразовать эту задачу в обратную задачу ГП.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП

Оценивание знакопеременных задач с позиномами

Краткие итоги

Вопросы и ответы