Так это же динамическое программирование на основе математической индукции. |
Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП
Оценивание знакопеременных задач с позиномами
В этом разделе будет показано, как можно свести задачу ГП с ограничениями на знакопеременные полиномы к обратной задаче ГП.
Введем определение. Знакопеременным полиномом (сигномом) называется (обобщенный) полином
![]() |
( 87) |
который отличается от позинома тем, что коэффициенты могут
быть отрицательными. Члены знакопеременного полинома удобно
располагать так, чтобы первыми в сумме стояли члены с
положительными коэффициентами
(если такие имеются).
Рассмотрим преобразование ограничений на знакопеременные полиномы в ограничения на позиномы, описанное, например, в [5].
Ясно, что любой знакопеременный полином представляет собой либо позином, либо позином, взятый со знаком минус, либо разность двух позиномов. Любое ограничение на знакопеременный полином может быть представлено в одном из трех видов:
![]() |
( 88) |
Если целевая функция является сигномом, то сначала ее надо
преобразовать путем введения новой положительной дополнительной
переменной, появится дополнительное ограничение. Опустим это
преобразование, предположив, что рассматривается задача, у которой
целевая функция - позином. Итак, пусть требуется
минимизировать позином при ограничениях на
знакопеременные полиномы:
![f_1(x) \leq -1,\quad f_2(x) \leq 0,\quad f_3(x)\leq 1.](/sites/default/files/tex_cache/15027ad45c77315a6c8d30817929f302.png)
Если - позином, то ограничение
не
может быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна
(противоречива). Если
- позином с отрицательным знаком,
то это ограничение эквивалентно ограничению
,
которое имеет второй из требуемых видов, указанных в
(88), следовательно, остается рассмотреть случай, когда
представляет собой разность двух позиномов.
Если - позином, то ограничение
не может
быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна
(противоречива). Если
- позином с отрицательным знаком,
то это ограничение удовлетворяется автоматически и может быть
исключено из рассмотрения, следовательно, остается рассмотреть
случай, когда
представляет собой разность двух позиномов.
Если - позином, то ограничение
имеет
первый из требуемых видов, указанных в (88). Если
- позином с отрицательным знаком, то это ограничение
удовлетворяется автоматически и может быть опущено, следовательно,
остается рассмотреть случай, когда
представляет собой
разность двух позиномов.
Таким образом, предположим, что нужно минимизировать позином при ограничениях
![]() |
( 89) |
![]() |
( 90) |
![]() |
( 91) |
где - позиномы,
.
Введем дополнительный вектор . Вектор
является допустимым решением этих ограничений тогда и только
тогда, когда имеются положительные значения для
такие, что дополненный вектор
является
допустимым решением, удовлетворяющим ограничениям
![\begin{array}{lcrcl}
h_1(x)&\leq&t_1&\leq&h_2(x) + 1, \\
1 + h_3(x)&\leq&t_2&\leq&h_4(x), \\
h_5(x)&\leq&t_3&\leq&h_6(x),
\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/03b5a0d01252be0f2dcd77655450ecbc.png)
следовательно, получим шесть ограничений:
![]() |
( 92) |
![]() |
( 93) |
![]() |
( 94) |
![]() |
( 95) |
![]() |
( 96) |
![]() |
( 97) |
Таким образом, получили обратную задачу ГП:
![g_{0}(x)\rightarrow\min](/sites/default/files/tex_cache/b5aa47ce1651a656e88b62538dadd6c0.png)
при ограничениях
![\begin{array}{lcr}
h_1(x) t_{1}^{-1}&\leq& 1, \\
t_{2}^{-1}+h_3(x) t_{2}^{-1}&\leq& 1, \\
h_5(x) t_{3}^{-1}&\leq& 1, \\
h_4(x) t_{2}^{-1}&\geq& 1, \\
h_2(x) t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}&\geq& 1, \\
h_6(x) t_{3}^{-1}&\geq& 1.
\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/dc6aa25f7477b2a0dc78367ca2745648.png)
Рассмотрим пример.
Пример 44 Преобразуем задачу с ограничениями на сигномы вида
![g_{0}(x) =
x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}+0.2 x_{1}^{2}x_{2}+7 x_{2}^{3}x_{3}^{-1}\rightarrow\min](/sites/default/files/tex_cache/9188f2a8e5c7c800c30da04f2374de2c.png)
при ограничениях
![f_{1}(x)&= &2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} + 6 x_{3}^{-4} -
3.5 x_{1}^{-1}x_{3} - 9 x_{2}x_{3}^{-4}&\leq& \phantom{-}1,\\
f_{2}(x)& =& 5 x_{1}^{6}+4 x_{2}^{5} -
x_{1}x_{3}^{-0.4}-x_{1}^{-3}x_{2}x_{3}^{0.5}-x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}&\leq&
-1, \\
f_{3}(x) &=&x_{1}^{2}x_{2}^{-2}x_{3}^{2} +
3 x_{1}^{-1}x_{2}+x_{3}^{-1} -
4 x_{1}^{3}x_{2}^{3}-2 x_{2}^{-2}x_{3}^{-2}&\leq&
\phantom{-}0](/sites/default/files/tex_cache/a0d3d4fb5cc488143feea32943208301.png)
в обратную задачу ГП.
Ограничение на сигном имеет вид (89), здесь
,
.
Ограничение на
порождает два ограничения вида
(92) и (93):
![(2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} + 6 x_{3}^{-4}) t_{1}^{-1}\leq 1,](/sites/default/files/tex_cache/b79781b1fe78b7ea648f3f6a241a3117.png)
![(3.5 x_{1}^{-1}x_{3} + 9 x_{2}x_{3}^{-4}) t_{1}^{-1} +
t_{1}^{-1}\geq 1.](/sites/default/files/tex_cache/819bf99c4effab07762eeaa1610c4b39.png)
Здесь - положительная дополнительная переменная, такая,
что выполняются неравенства:
![h_1(x) \leq t_1 \leq h_2(x) + 1.](/sites/default/files/tex_cache/9f7b8c86fdcfee3c3a49b871c8472890.png)
Ограничение на сигном имеет вид (90), здесь
,
.
Ограничение на
порождает два ограничения вида
(94) и (95):
![t_{2}^{-1} +(5 x_{1}^{6}+4 x_{2}^{5}) t_{2}^{-1}\leq 1,](/sites/default/files/tex_cache/7dc4992967ceb6aee08d3f743025e813.png)
![(x_{1}x_{3}^{-0.4}+x_{1}^{-3}x_{2}x_{3}^{0.5}+x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}) t_{2}^{-1}\geq
1.](/sites/default/files/tex_cache/a97c8ff2aabd62573f78e87efa12752c.png)
Здесь - положительная дополнительная переменная, такая,
что выполняются неравенства:
![1 + h_3(x)\leq t_2 \leq h_4(x).](/sites/default/files/tex_cache/04735b23b52e87bdf64cf3390547761d.png)
Ограничение на сигном имеет вид (91), здесь
,
.
Ограничение на
порождает два ограничения вида
(96) и (97):
![(x_{1}^{2}x_{2}^{-2}x_{3}^{2} +
3 x_{1}^{-1}x_{2}+x_{3}^{-1}) t_{3}^{-1}\leq 1,](/sites/default/files/tex_cache/2c7112a97e788bd34f62527be76e6238.png)
![(4 x_{1}^{3}x_{2}^{3}+2 x_{2}^{-2}x_{3}^{-2}) t_{3}^{-1}\geq
1.](/sites/default/files/tex_cache/7b95622ea233cdb7b5d72dded736b42f.png)
Здесь - положительная дополнительная переменная, такая,
что выполняются неравенства:
![h_5(x)\leq t_3 \leq h_6(x).](/sites/default/files/tex_cache/b5e95abc0f7a27858720f6e8cde42286.png)
Таким образом, получили обратную задачу ГП:
![g_{0}(x) =
x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}+0.2 x_{1}^{2}x_{2}+7 x_{2}^{3}x_{3}^{-1}\rightarrow\min](/sites/default/files/tex_cache/9188f2a8e5c7c800c30da04f2374de2c.png)
при ограничениях
![\begin{array}{lcl}
2 x_{1}^{0.5} x_{2}^{-0.5} t_{1}^{-1} + 6 x_{3}^{-4} t_{1}^{-1}&\leq& 1, \\
t_{2}^{-1} + 5 x_{1}^{6} t_{2}^{-1}+4 x_{2}^{5} t_{2}^{-1}&\leq& 1, \\
x_{1}^{2} x_{2}^{-2} x_{3}^{2} t_{3}^{-1} + 3 x_{1}^{-1} x_{2} t_{3}^{-1}+x_{3}^{-1} t_{3}^{-1}&\leq& 1, \\
3.5 x_{1}^{-1} x_{3} t_{1}^{-1} + 9 x_{2} x_{3}^{-4} t_{1}^{-1} + t_{1}^{-1}&\geq& 1, \\
x_{1} x_{3}^{-0.4} t_{2}^{-1}+x_{1}^{-3} x_{2} x_{3}^{0.5} t_{2}^{-1}+x_{1}^{-1} x_{3}^{-1} t_{2}^{-1}&\geq& 1, \\
4 x_{1}^{3} x_{2}^{3} t_{3}^{-1}+2 x_{2}^{-2} x_{3}^{-2} t_{3}^{-1}&\geq& 1.
\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/bfd759d242b619c4785003645a9a5ee0.png)
Обратную задачу ГП можно аппроксимировать прямой задачей ГП при помощи преобразований, описанных в предыдущем разделе.
Краткие итоги
Описаны простейшие методы преобразования определенного класса задач оптимизации в задачи ГП. Приведена постановка обратной задачи ГП. Объяснено, как можно аппроксимировать обратную задачу ГП прямой. Приведена постановка знакопеременной задачи ГП, показано, как можно преобразовать эту задачу в обратную задачу ГП.