НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 6: Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 662 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00

Специальности: Программист

Теги: beta, базисными векторами, безопасность, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, книги, линейное программирование, модель задач, обобщенный полином, оптимальное решение задачи, поддержка, программирование, рабочая книга, свойства множества, теория, форматы, число независимости

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Обратная задача ГП

Обратной задачей геометрического программирования называется следующая задача:

$\mbox{Задача IGP:} \qquad g_{0}(x)\rightarrow \min$

при ограничениях

$g_{k}(x)\leq 1,\quad k = \overline{1, p_1},$

( 79)

$g_{k}(x)\geq 1,\quad k = \overline{p_1+1, p},$

( 80)

$x_{j}> 0 ,\quad j= \overline{1,m},$

где

$g_{k}(x)=\sum\limits_{i\in [k]}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad k= \overline{0,p},\quad c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb{R}.$

( 81)

Обратная задача ГП отличается от задачи GP наличием ограничений вида (80), которые называются обратными ограничениями.

Покажем, что обратную задачу ГП можно аппроксимировать двумя семействами задач ГП. Аппроксимация базируется на неравенствах, связывающих арифметические и гармонические средние. Эти неравенства приведены в лемме, доказательство которой можно найти, например, в [5].

Лемма 1 Для положительных чисел $u_{i},\ (i=\overline{1,n})$ и положительных чисел $\alpha_{i},\ (i = \overline{1,n})$ , удовлетворяющих условию

$\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1,$

выполняются неравенства

$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}\right)^{-1}\leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_i}{u_i}\right)^{\alpha_i}\leq \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_{i}^{2}}{u_i}\right).$

Эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда

$u_{i} = \alpha_{i}\left(\sum\limits_{j=1}^{n}u_{j}\right),\ i=\overline{1,n}.$

Введем определения. Геометрическим обратным мономом $\overline{g}(x, \alpha)$ для позинома

$g(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}}$

называется моном вида

$\overline{g}(x,\alpha)={\prod\limits_{i=1}^{n}}% \left(\frac{\alpha_i}{c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}}}\right)^{\alpha_i},$

( 82)

где положительные веса $\alpha_{i}$ , $i=\overline{1,n}$ , удовлетворяют условию $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1$ .

Гармоническим обратным позиномом $\widetilde{g}(x, \alpha)$ для позинома g(x) называется позином вида

$\widetilde{g}(x,\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{n}% {\frac{\alpha_{i}^{2}}{c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}}}}.$

( 83)

где положительные веса $\alpha_{i}$ , $i=\overline{1,n}$ , удовлетворяют условию $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1$ .

Из леммы 1 следует, что, если положить $u_i=c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}}$ , то для любого x>0 выполняются неравенства:

$1/g(x)\leq \overline{g}(x,\alpha)\leq \widetilde{g}(x,\alpha).$

( 84)

Введем в рассмотрение семейство сжатых задач $CGP(\alpha)$ для задачи IGP, в которых обратные ограничения заменены ограничениями вида $\overline{g}_k(x,\alpha)\leq 1$ :

$\mbox{Задача CGP}(\alpha):\quad g_{0}(x)\rightarrow \min$

при ограничениях

$g_{k}(x)\leq 1,\quad k = \overline{1, p_1},$

$\overline{g}_{k}(x,\alpha)\leq 1,\quad k = \overline{p_1+1, p},$

$x_{j}> 0 ,\quad j= \overline{1,m},$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1.$

где $g_{k}(x)$ - позиномы вида (81), $\overline{g}_{k}(x,\alpha)$ - мономы вида (82). Каждой задаче из семейства соответствует вектор весов $\alpha$ , который удовлетворяет условиям

$\sum\limits_{i\in [k]}\alpha_{i} = 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Задачи из семейства $CGP(\alpha)$ являются задачами ГП. Связь между обратной задачей ГП и соответстующим семейством сжатых задач $CGP(\alpha)$ сформулируем в виде теоремы.

Теорема 12 Оптимальное решение $x^*(\alpha)$ любой сжатой задачи из семейства $CGP(\alpha)$ является допустимым решением соответствующей обратной задачи IGP. Если обратная задача IGP имеет оптимальное решение , то существует вектор весов $\alpha^*$ , при котором является оптимальным решением сжатой задачи, соответсвующей этому вектору весов.

Доказательство. Обозначим через $x^*(\alpha)$ оптимальное решение задачи из семейства $CGP(\alpha)$ при векторе весов $\alpha$ . Так как оптимальное решение $x^*(\alpha)$ является допустимым решением задачи, то для него выполнены неравенства

$g_{k}(x^*(\alpha))\leq 1,\quad k = \overline{1, p_1},$

$\overline{g_k}(x^*(\alpha),\alpha)\leq 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Тогда из неравенства (84) следует, что выполнены неравенства

$g_k(x^*(\alpha))\geq 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Следовательно, $x^*(\alpha)$ является допустимым решением задачи IGP.

Пусть задача IGP имеет оптимальное решение. Обозначим его через x^* . Покажем, что существует вектор весов $\alpha^*$ такой, что для соответствующей ему задачи вектор x^* будет допустимым решением. Введем следующие обозначения:

$\beta_k=g_k(x^*)=\sum\limits_{i\in [k]}u_i^* \leq 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Тогда вектор

$\alpha^*_i = \frac{u_i^*}{\beta_k},\ i\in [k], \quad k = \overline{p_1+1, p}$

является вектором весов, а x^* - допустимым (и оптимальным) решением соответствующей ему сжатой задачи:

$\overline{g_k}(x^*,\alpha^*)=\frac{1}{g_k(x^*)}\leq 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Приведем пример на построение семейства сжатых задач.

Пример 42 Образуем для обратной задачи ГП

$g_{0}(x) =4 x_{1}x_{2}^{-1}+5x_{1}^{3}x_{2}^{-4}x_{3}+x_{1}^{-2}\rightarrow\min$

при ограничениях

$g_{1}(x) = 2 x_{1}x_{3}^{2}+3x_{2}^{-1}\leq 1,$

$g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2}^{2}+4 x_{1}x_{3}^{-1}\geq 1,$

( 85)

$x_1>0,\ x_2>0,\ x_3>0$

семейство сжатых задач.

Заменим обратное ограничение (85) прямым. Для этого вычислим геометрическое обратное для позинома $g_{2}(x)$ по формуле (82):

$\overline{g}_{2}(x, \alpha) = \left(\frac{\alpha_1}{x_{1}^{-1}x_{2}^{2}}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{\alpha_2}{4 x_{1}x_{3}^{-1}}\right)^{\alpha_2}.$

Упростим последнюю формулу:

$\overline{g}_{2}(x, \alpha) =4^{-\alpha_2}\alpha_{1}^{\alpha_{1}}\alpha_{2}^{\alpha_{2}}x_{1}^{\alpha_1 - \alpha_2}x_{2}^{-2\alpha_1}x_{3}^{\alpha_2}.$

Таким образом, семейство сжатых задач для рассматриваемой задачи имеет вид

$g_{0}(x) =4 x_{1}x_{2}^{-1}+5x_{1}^{3}x_{2}^{-4}x_{3}+x_{1}^{-2}\rightarrow\min$

при ограничениях

$\begin{array}{lclcr} g_{1}(x)&=&2 x_{1}x_{3}^{2}+3x_{2}^{-1}&\leq& 1, \\ \overline{g}_{2}(x, \alpha) &=&4^{-\alpha_2}\alpha_{1}^{\alpha_{1}}\alpha_{2}^{\alpha_{2}}x_{1}^{\alpha_1 - \alpha_2}x_{2}^{-2\alpha_1}x_{3}^{\alpha_2}&\leq& 1, \\ &&x_1>0,\ x_2>0,\ x_3>0.&& \end{array}$

Задачи ГП из этого семейства отличаются только видом второго ограничения (на значения позинома $\overline{g}_{2}(x, \alpha)$ ). Например, при $\alpha_{1}= \alpha_{2}=1/2$ это ограничение будет иметь вид:

$\overline{g}_{2}(x) =\frac{1}{4} x_{2}^{-1}x_{3}^{\frac{1}{2}} \leq 1.$

Из (84) следует, что минимум $M_{IGP}$ задачи IGP и минимум $M_{CGP(\alpha)}$ задачи $CGP(\alpha)$ связаны соотношением

$M_{CGP(\alpha)}\geq M_{IGP}.$

Таким образом, можно решить задачу $CGP(\alpha)$ для некоторых весов $\alpha_{i},\ i=\overline{1,n}$ и полученное решение будет оценкой сверху для обратной задачи IGP .

Введем в рассмотрение семейство гармонических задач $HGP(\alpha)$ для задачи IGP, в которых обратные ограничения заменены ограничениями вида $\widetilde{g}_k(x,\alpha)\leq 1$ :

$\mbox{Задача HGP(\alpha):} \quad g_{0}(x)\rightarrow \min$

при ограничениях

$g_{k}(x)\leq 1,\quad k = \overline{1, p_1},$

$\widetilde{g}_{k}(x,\alpha)\leq 1,\quad k = \overline{p_1+1, p},$

$x_{j}> 0 ,\quad j= \overline{1,m},$

где $g_{k}(x)$ - позиномы вида (81), $\widetilde{g}_{k}(x,\alpha)$ - позиномы вида (83).

Каждой задаче из семейства соответствует вектор весов $\alpha$ , который удовлетворяет условиям

$\sum\limits_{i\in [k]}\alpha_{i} = 1, \quad k = \overline{p_1+1, p}.$

Задачи из семейства $HGP(\alpha)$ являются задачами ГП. Связь между обратной задачей ГП и соответстующим семейством гармонических задач $HGP(\alpha)$ сформулируем в виде теоремы.

Теорема 13 Оптимальное решение $\widetilde{x}(\alpha)$ любой гармонической задачи из семейства $HGP(\alpha)$ является допустимым решением соответствующей обратной задачи IGP. Если обратная задача IGP имеет оптимальное решение $\widetilde{x}$ , то существует вектор весов $\widetilde{\alpha}$ , при котором $\widetilde{x}$ является оптимальным решением гармонической задачи, соответсвующей этому вектору весов.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 12.

Приведем пример на построение семейства гармонических задач.

Пример 43 Образуем для обратной задачи ГП

$g_{0}(x) =4 x_{1}x_{2}^{-1}+5x_{1}^{3}x_{2}^{-4}x_{3}+x_{1}^{-2}\rightarrow\min$

при ограничениях

$g_{1}(x) = 2 x_{1}x_{3}^{2}+3x_{2}^{-1}\leq 1,$

$g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2}^{2}+4 x_{1}x_{3}^{-1}\geq 1,$

( 86)

$x_1>0,\ x_2>0,\ x_3>0$

семейство гармонических задач.

Заменим обратное ограничение (86) прямым. Для этого вычислим гармоническое обратное для позинома $g_{2}(x)$ по формуле (83):

$\widetilde{g}_{2}(x, \alpha) = \frac{\alpha_{1}^{2}}{x_{1}^{-1}x_{2}^{2}}+ \frac{\alpha_{2}^{2}}{4 x_{1}x_{3}^{-1}}.$

Упростим последнюю формулу:

$\widetilde{g}_{2}(x, \alpha) =\alpha_{1}^{2}x_{1}x_{2}^{-2}+0.25 \alpha_{2}^{2}x_{1}^{-1}x_{3}.$

Таким образом, семейство гармонических задач для рассматриваемой задачи имеет вид

$g_{0}(x) =4 x_{1}x_{2}^{-1}+5x_{1}^{3}x_{2}^{-4}x_{3}+x_{1}^{-2}\rightarrow\min$

при ограничениях

$\begin{array}{lclcr} g_{1}(x)&=&2 x_{1}x_{3}^{2}+3x_{2}^{-1}&\leq& 1, \\ \widetilde{g}_{2}(x, \alpha) &=&\alpha_{1}^{2}x_{1}x_{2}^{-2}+0.25 \alpha_{2}^{2}x_{1}^{-1}x_{3}&\leq& 1, \\ &&x_1>0,\ x_2>0,\ x_3>0.&& \end{array}$

Задачи ГП из этого семейства отличаются только видом второго ограничения (на значения позинома $\widetilde{g}_{2}(x, \alpha)$ ). Например, при $\alpha_{1}= \alpha_{2}=1/2$ это ограничение будет иметь вид:

$\widetilde{g}_{2}(x) =\frac{1}{4}x_{1}x_{2}^{-2}+\frac{1}{16}x_{1}^{-1}x_{3} \leq 1.$

Из (84) следует, что минимум $M_{IGP}$ задачи IGP и минимум $M_{HGP(\alpha)}$ задачи $HGP(\alpha)$ связаны соотношением

$M_{HGP(\alpha)}\geq M_{CGP(\alpha)}\geq M_{IGP}.$

Таким образом, можно решить задачу $HGP(\alpha)$ для некоторых весов $\alpha_{i},\ i=\overline{1,n}$ и полученное решение будет оценкой сверху для обратной задачи IGP .

На данный момент нет достаточной вычислительной практики, которая показывала бы, какая аппроксимация эффективнее. Однако отметим, что двойственные задачи для семейства сжатых задач имеют меньше двойственных переменных по сравнению с гармоническими задачами, поскольку геометрическое обратное является мономом. Это облегчает решение задачи двойственными методами.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП

Обратная задача ГП

Вопросы и ответы