Эффективные и оптимальные механизмы

Оптимальные механизмы

Теперь вернемся к более общей ситуации и начнем наши рассуждения с оптимальных механизмов. Чтобы построить оптимальный механизм, нужно для прямого механизма максимизировать ожидание дохода продавца:

где — распределение ценностей агента , а — его выплата. Далее мы подсчитаем это ожидание явно, но сначала вспомним обозначения доходности и выплаты агентов. Через мы обозначаем ожидаемую доходность агента , когда он говорит , а остальные говорят правду:

А через — ожидаемую выплату агента в той же ситуации:

Напомним, что отрицательные индексы означают "все, кроме"; например, означает распределение ценностей всех агентов, кроме агента .

Для вывода ожидаемого дохода продавца будем использовать формулу для ожидаемой выплаты агента , которую мы получали в теореме об эквивалентности доходности (теорема 4.1):

Преобразуем двойной интеграл, поменяв в нем порядок интегрирования. Здесь снова никаких теоретических проблем с изменением порядка не возникает; область интегрирования показана на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Область интегрирования интеграла

Запишем снова ожидаемую выплату агента и вспомним, что по определению — интеграл по . Тогда интегралы по и весьма удобно объединятся:

В итоге, просуммировав по всем агентам, получаем ожидаемый доход продавца:

Осталось максимизировать это выражение при следующих условиях:

• правдивость, что равносильно неубыванию ;
• рациональность, что равносильно , то есть если у агента собственная ценность , то он должен заплатить не больше , чтобы не быть в убытке.

Все эти равносильности уже объяснялись в лекции "Теорема об эквивалентности доходности" .

Введем для упрощения записи понятие виртуальной ценности предмета для агента :

Смысл виртуальной ценности в том, что продавец должен максимизировать , если хочет быть оптимальным. Заметим, что если максимизировать , то он будет эффективным — вот и вся разница между эффективностью и оптимальностью.

Докажем, что :

Рассмотрим теперь отдельно интеграл справа. Поменяем порядок интегрирования, как уже было сделано в показанном на рис. 5.2 случае:

Таким образом мы получили, что математическое ожидание виртуальной ценности каждого агента равно нулю.

Будем называть задачу дизайна механизмов регулярной, если является возрастающей функцией от для любого . Это эквивалентно тому, что функция риска возрастает, так как

В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные задачи.

Запишем ожидаемый доход продавца в терминах виртуальных ценностей:

Рассмотрим подынтегральное выражение . похожа на весовую функцию, взвешивающую . Резонно было бы дать максимальный вес максимальному (если он положительный), а про остальные забыть. Это максимизировало бы функцию в каждой точке, а значит, и интеграл тоже. Это и будет идеей конструкции, но нам еще придется учесть ограничения (правдивость и рациональность).

Итак, рассмотрим прямой механизм , у которого выполняются следующие свойства:

• Функция распределения распределяет объект покупателю с положительной вероятностью тогда и только тогда, когда у него максимальная и неотрицательная виртуальная ценность:

  .

  Если покупателей с максимальным несколько, то на них может быть любое положительное распределение , то есть просто не важно, кому именно из них достанется объект.
• Плата определяется следующим образом:

  .

  Такая функция платы нужна для того, чтобы выполнялось условия рациональности.

Оказывается, что (при условии регулярности) это и есть оптимальный механизм.

Теорема 5.1. Для регулярной задачи дизайна механизмов механизм , где

является правдивым, рациональным и оптимальным среди всех рациональных^{3Конечно, если разрешить аукционеру принудительно собирать любую сумму с агентов-участников, можно получить доход и побольше. Но мы все же предполагаем, что находимся на свободном рынке, и агенты вольны выбирать, участвовать им в аукционе или нет. Следовательно, нас интересуют только рациональные аукционы — остальные просто останутся без участников.}.

Доказательство. Во-первых, покажем правдивость построенного нами механизма. Пусть . Тогда, по регулярности, , и, значит,

Значит, неубывающая, то есть механизм правдивый.

Во-вторых, покажем рациональность. Очевидно, что

Значит, , и механизм рациональный. Заметим, что форма платы в данном случае полностью задана распределением ; определена с точностью до константы, которую мы изначально приняли такой, чтобы выполнялось .

Таким образом, это рациональный и правдивый механизм. Кроме того, он оптимален, так как максимизирует каждое из двух слагаемых формулы дохода продавца по отдельности. Во-первых, он максимизирует , потому что для всех рациональных механизмов, а в нашем . Во-вторых, он максимизирует в каждой точке, потому что дает весь имеющийся вес агенту с максимальной виртуальной ценностью . Значит, он максимизирует и

Давайте теперь изучим то, что у нас получилось. Максимальный доход нашего оптимального аукциона получается по простой формуле:

Ноль добавляется на случай, если все виртуальные ценности окажутся отрицательными.

Проанализируем теперь, сколько придется заплатить победителю такого аукциона. Рассмотрим новые функции

Это минимальное значение ставки игрока , которое позволит ему выиграть аукцион (даст ему положительную виртуальную ценность, которая окажется больше, чем виртуальные ценности всех других участников). Тогда определение правила распределения можно переписать как

Подсчитаем интеграл:

Значит, правило выплаты можно с использованием функций переписать как

Иначе говоря, только победитель что-то платит, и он платит минимальную ставку , достаточную, чтобы обеспечить ему выигрыш. Но это в точности основной принцип аукциона второй цены! Значит, выше мы доказали, что оптимальный аукцион при продаже одной вещи нейтральным к риску агентам — это аукцион Викри с резервной ценой. Более того, из теоремы 5.1 можно извлечь и оптимальную резервную цену.

Рассмотрим для простоты симметричный случай: пусть все агенты симметричны, то есть плотности распределения ценностей равны. Тогда все виртуальные ценности . Тогда получаем, что

Таким образом, победитель платит максимум из всех остальных ставок или резервную цену, если все остальные ставки меньше. Проще говоря, мы получили в точности аукцион второй цены с резервной ценой

Пример 5.3. Подсчитаем для равномерных распределений на . Поскольку

то является корнем уравнения

Решим это уравнение, используя определение функции риска:

Поскольку ценности распределены на , то , . Тогда получаем, что . Иначе говоря, продавцу будет выгодно установить резервную цену в . Здесь мы, конечно, предполагали, что упоминавшийся в предыдущем параграфе доход продавца от удержания вещи у себя (величина ) равен нулю.

Конец примера 5.3.