Опубликован: 03.12.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 1103 / 247 | Длительность: 16:43:00
Лекция 11:

Программирование, основанное на правилах преобразований

10.1.2. Локальные правила преобразования

Зачастую преобразование требуется осуществить не во всём тексте программы, а в отдельно взятом выражении или группе выражений. В этом случае прибегают к локальным правилам преобразования. С локальными правилами преобразования мы уже встречались в предыдущих лекциях, в частности, при работе с дифференциальными уравнениями, при выполнении символьных вычислений. В настоящей лекции мы познакомимся с ними как с основой соответствующего стиля программирования.

Локальными вариантами функций немедленного присваивания Set и отложенного присваивания SetDelayed являются функции Rule и RuleDelyed. Их инфиксные формы выглядят как " -> " и " :> ", соответственно. Ещё две инфиксные формы задания этих функций выглядят соответственно как " \to " и " :\to ", и ввести их можно, пользуясь палитрой. Кроме того, в последних версиях Mathematica введённое с клавиатуры выражение -> автоматически преобразовывается в " \to ", а " :> " — в " :\to ". С функцией Rule в инфиксной форме мы уже имели дело, когда в предыдущих лекциях знакомились с опциями функций.

Как мы уже знаем, если в тексте программы мы воспользуемся функцией Set[x,y], то во всех выражениях, содержащих символ x, он будет заменён символом y. Если же в тексте программы мы воспользуемся функций Rule[x,y] (пример In[1] на рис. 10.6), то никаких замен, связанных с символом x, ни в одном выражении не произойдёт (пример In[2]). Для того чтобы всё-таки осуществить замену в некотором выражении, нужно воспользоваться функцией ReplaceAll, указав в качестве её аргументов это самое выражение и необходимую локальную замену. Если, например, в выражении x^2+x+1 мы хотим заменить символ x выражением a+b, то мы задаём соответствующую функцию в следующей форме: ReplaceAll[x^2+x+1,Rule[x,a+b]] (пример In[3]). Функция ReplaceAll также имеет инфиксное представление, которое задаётся как " /. ". Итак, функцию из предыдущего примера можно задать следующим образом: x^2+x+1/.x->a+b (пример In[4]).

Задание локальных правил преобразования при помощи функции Rule

Рис. 10.6. Задание локальных правил преобразования при помощи функции Rule

Выражения, содержащие локальные правила преобразования, также имеют собственный порядок вычислений, описанный П. Веллином и др. в [14, с. 165]. В случае немедленной замены при использовании функции Rule порядок вычислений следующий. Сначала полностью вычисляется выражение, выступающее в качестве первого аргумента функции ReplaceAll (или находящееся слева от инфиксного выражение " /. "). Затем вычисляются выражения в левой и правой частях правил преобразования (второго аргумента функции ReplaceAll или стоящего справа от " /. "). В самом конце выражения в левой части правил, содержащиеся в первом аргументе функции ReplaceAll, заменяются выражениями в правой части правил. Порядок расчёта можно проследить при помощи уже известной нам функции Trace.

В примере In[1] на рис. 10.7 мы задаём некоторое выражение (m+n)^2, представляем его в полиномиальном виде, и осуществляем замену символов m и n выражениями Sin[2.] и Cos[2.], соответственно. В том же примере мы знакомимся с тем фактом, что к одному и тому же выражению мы можем применять одновременно несколько правил преобразований: в этом случае они должны быть оформлены в виде списка. В примере In[2] мы применяем функцию Trace к выражению в In[1]. По результату, содержащемуся в Out[2], можно поэтапно проследить, что Mathematica делает с исходным выражением на каждом этапе:

  1. вычисляет заданное выражение Expand[(m+n)^2] и получает в результате вычисления новое выражение m^2+2mn+n^2;
  2. вычисляет значение выражения Sin[2.], получает число 0.909297;
  3. переписывает первое правило преобразования c учётом результатов предыдущего пункта как m->0.909297;
  4. вычисляет значение выражения Cos[2.], получает -0.416147;
  5. переписывает второе правило преобразования c учётом результатов предыдущего пункта как n->-0.416147;
  6. переписывает все правила преобразований с учётом вычислений в виде {m->0.909297,n->-0.416147};
  7. полностью переписывает выражение с правилами преобразований с учётом всех проведённых вычислений, m^2+2mn+n^2/.{m->0.909297,n->-0.416147};
  8. производит замену в соответствии с правилами преобразований, 0.909297^2+2 0.909297 (-0.416147)+(-0.416147)^2;
  9. по отдельности вычисляет значения каждого члена выражения, полученного в предыдущем пункте;
  10. переписывает выражение, полученное в пункте 8 сего перечня с учётом вычислений в предыдущем пункте, 0.826822 -0.756802 +0.173178, проводит вычисления и получает конечный результат 0.243198 (который, к слову, совпадает с выражением в Out[1] на рис. 10.7).

В случае отложенной замены (функция RuleDelayed) вычисление выражений в правой части правил преобразований осуществляется после подстановки, то есть, пункты 2 и 4 представленного выше перечня следуют после пункта 7. Это также легко пронаблюдать при помощи функции Trace — см. пример In[4] на рис. 10.7.

Порядок вычисления выражений, содержащие локальные правила преобразования

Рис. 10.7. Порядок вычисления выражений, содержащие локальные правила преобразования

Правила преобразования могут применяться к символам, причём нигде не оговорено, какую роль в тексте программы эти символы должны выполнять. В предыдущих примерах мы применяли замену к символам, являющимся переменными в некотором выражении. Однако преобразуемый символ может являться и заголовком выражения. В примере In[1] на рис. 10.8 мы преобразуем полином в список входящих в него слагаемых, заменяя символ Plus, задающий сумму выражений, символом List, задающим список. Обратный пример преобразования списка в сумму его элементов приведён в книге П. Веллина и др. [14, с. 166].

В примере 10.7 мы уже познакомились с возможностью применения к выражению одновременно нескольких правил преобразований: для этого правила оформляются в виде списка. Следует учесть, что эффект параллельного применения правил отличается от последовательного, когда каждое новое правило применяется при помощи отдельной функции ReplaceAll. В примере In[2] на рис. 10.8 мы одновременно применили к выражению a*x^2+x*a^2 правила преобразования a->x и x->y, а в примере In[3] — последовательно. Результаты вычислений Out[2] и Out[3] разительно отличаются друг от друга. Объясняется это достаточно просто: если в первом случае (в примере In[2]) оба правила, и a->x, и x->y, применяются к исходному выражению a*x^2+x*a^2, то во втором (в примере In[3]) к нему применяется только правило a->x, а правило x->y применяется к результату предыдущей замены, то есть, к уже изменённому выражению.

Зачастую в процессе вычисления некоторого выражения каждое новое преобразование, подразумевающее замену некоторого символа expr1 символом expr2, приводит к новому выражению, вновь содержащему expr1. Если задачей ставится окончательно избавиться от expr1 в исходном выражении, заменив его выражением expr2, можно прибегнуть к многократному применению правил преобразования. Функция ReplaceRepeated, заданная в виде ReplaceRepeated[initaxpr,rules], будет до тех пор применять правила rules, пока получаемое в результате выражение не перестанет изменяться. Инфиксная форма функции ReplaceRepeated в Mathematica — " //. ". В примере In[4] на рис. 10.8 мы воспользовались многократным преобразованием некоторого выражения, а в примере In[5] для сравнения применили однократное преобразование. Как мы видим, в результате вычислений Out[5] по-прежнему содержится символ q, для которого задавалось правило, а в Out[4] символов, требующих замены не осталось.

Однако следует быть осторожным при работе с функцией ReplaceRepeated: некоторые правила преобразования могут вызывать принципиальную невозможность точного выполнения функции. Так в примере In[6] на рис. 10.8 мы пытаемся заменить содержащийся в исходном выражении символ t выражением, которое также содержит этот символ, тем самым, ввергая программу в бесконечную рекурсию. В результате мы получаем сообщение о том, что операция преобразования была выполнена 65536 раз и после этого остановлена, а выходная ячейка Out[6] содержит результат применения правила преобразования 65536 раз.

Подробней о локальных правилах преобразований см. книги Е. М. Воробьёва [1, с. 141, 158–162] и П. Веллина и др. [14, с. 164–167].

Применение локальных правил преобразования

Рис. 10.8. Применение локальных правил преобразования