Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
[+]
Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 467 / 49 | Длительность: 11:44:00
Темы: Математика, Экономика, Образование
Лекция 1:

Математические методы в моделировании экономики
A
|
версия для печати
Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Интегрирование

Аналитический способ нахождения интеграла - нахождение первообразной для подынтегральной функции, процедура, обратная дифференцированию. В Mathcad интегрирование производится символьным вычислением. Для проведения операции надо под знак \int_{a}^{b}d,(панель Calculus), ввести функцию, пределы интегрирования, переменную, щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). Можно решать: неопределённые и определенные, двойные и тройные интегралы.

В процессе решения экономических задач приходится производить вычисление накопительного итога: определение суммарного расходования материалов, энергии, прибыли, затрат и т.д. В статистических задачах операция интегрирования требуется при построении интегральных функций распределения по плотности распределения вероятности, при расчете математического ожидания, дисперсии.

Пример 1.2.

Случайная величина задана плотностью распределения fn(x)=e^{-p\cdot x}. Определить математическое ожидание и вероятность для случайной величины принять значение от 0,5 до 1.

Математическое ожидание M выражается соотношением:

M=\int_{t1}^{t2}x\cdot fn(x)dx ( 1.2)
,

вероятность P для случайной величины принять значение от a до b имеет вид

P=\int_{a}^{b}f(x)dx ( 1.3)

Расчет математического ожидания и вероятности приведен ниже:

p:=1.7

fn(x):=e^{-p\cdot x} - плотность распределения

M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx - математическое ожидание

M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx\to 0.34602076124567474048

P(a,b):=\int_{a}^{b}fn(x)dx - вероятность принять значение от a до b

P(0.5,1)=0.144 - вероятность принять значение от 0.5 до 1

Пример 1.3.

Производительность труда от времени t характеризуется функцией

f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4 ( 1.4)

Определить объем продукции V, произведенной рабочим за первый час и за третий час рабочего дня.

Для t >0 функция f(t) непрерывна. Тогда объем продукции V, произведенной рабочим за промежуток времени от t_1 до t_2 будет иметь вид

V=\int_{t1}^{t2}f(t)dt ( 1.5)

На рисунке 1.2 представлено решение в Mathcad.

Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной продукции

Рис. 1.2. Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной продукции

f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4

V(t1,t2):=\int_{t1}^{t2}f(t)dt\to4\cdot t2-4\cdot t1-\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t1)+\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t2) ( 1.5)

V(0,1)=5.814 - объем произведенной продукции за первый рабочий час

V(2,3)=4.157 - объем произведенной продукции за третий рабочий час

Решение уравнений

Техника символьных вычислений позволяет решать уравнения аналитически (в символьном виде). Применяя ключевое слово Solve панели Simbolyc, можно решать уравнения и системы линейных и нелинейных уравнений. Для этого надо ввести уравнения, с использованием логического равенства = с панели Boolean, ключевое слово Solve, переменные, относительно которых решается уравнение.

Решение уравнений – ключевой момент математического моделирования. Особенно ценна возможность аналитического решения, это позволяет выразить одни показатели через другие. Рассмотрим примеры.

Пример 1.4.

Обратимся к финансовым вычислениям, которые подробно будут рассмотрены во 2 лекции. По схеме сложных процентов для элементарного денежного потока выражение для будущей стоимости FV от ставки R , текущей стоимости PV , количества лет n и количества начислений процентов m в течение года имеет вид:

FV=PV(1+R/m)^{nm} ( 1.6)

Для вывода выражений для финансовых параметров PV, R, n надо это уравнение решить относительно соответствующего параметра . Решение показано ниже:

FV=PV(1+\frac{R}{m})^{m\cdot n} solve, R\to\exp{(\frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot n})}\cdot m-m

FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, PV\to\frac{FV}{(\frac{R}{m}+1)^{m\cdot n}}

FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, n\to \frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot \ln{(\frac{R}{m}+1)}}

Пример 1.5.

Рассмотрим экономическую задачу изучения спроса и предложения товара на рынке. Спрос на товар D (demand) – сложившаяся на данный момент времени зависимость между ценой спроса товара P (price) и количеством товара q (объемом его покупки). Пусть Pd=D(q) – функция спроса, Pd -цена товара, по которой покупается количество товара q. Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности, функция . D(q) – функция убывающая. Предложение S (supply) определяется ценой, по которой количество товара q предлагается на рынке. Ps=S(q) - функция предложения, Ps - цена товара, по которой предлагается на продажу количество товара q, предложение растет с увеличением цены на товар, S(q) – функция возрастающая. Для экономики представляет интерес условие равновесия, когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением D(q)=S(q).

Пусть функции имеют вид: D(q)=10+\frac{20}{q}

На рисунке 1.3 представлено решение.

Листинг вычислений Примера 1.5. Определение равновесной цены.

Рис. 1.3. Листинг вычислений Примера 1.5. Определение равновесной цены.

D(q) – цена, по которой приобретается количество товара q

S(q) – цена, по которой предлагается количество товара q

q - количество товара, приобретенного по цене

D(q):=10+\frac{20}{q}

S(q):=0.1q^2-q+5

D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} -2.2133629033866662671-2.99402473169446016791 \\ -2.2133629033866662671+2.99402473169446016791 \\ 14.426725806773332534 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.213-2.994i \\ -2.213+2.994i \\ 14.427 \end{pmatrix}

q:=14.427

D(q)=11.39, S(q)=11.39 – равновесная цена

Следует заметить, Mathcad 14 дат решение уравнения для всей области значений (действительные и комплексные), ключевое слово assume (ограничение для переменной) не работает.

Если имеем систему уравнений, уравнения следует вводить как элементы матрицы.

D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} z+t=16 \\ 2z-t=28.5 \end{pmatrix} \begin{array}{|c} solve,\begin{pmatrix} z \\ t \end{pmatrix} \\ float,3 \end{array} \to(14.8 \; 1.17) = (14.800 \; 1.170)

Дальше >>
Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0