НОУ ИНТУИТ | Рынок как система обслуживания случайных потоков. Лекция 1: Математическая модель рынка

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 405 / 19 | Длительность: 08:16:00

Темы: Экономика, Менеджмент

Специальности: Менеджер, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 22 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

1.2.2. Принципы классификации потоков событий

Для того, чтобы получить математическое описание потоков проведем их классификацию.

Потоки товаров бывают неоднородные и однородные.

Например, на продажу может быть одновременно поставлены автомобили, запасные части, средства для подкраски сколов, шины и т.д. Это неоднородный поток.

В неоднородном потоке товаров каждый товар имеет свои характеристики.

периоды и объем поступления;
взаимосвязь этих периодов;
свою группу потребителей;
длительность потребления каждого товара и другими характеристиками

Однородный поток товаров характеризуется последовательностью, определяющей закономерность поступления товара только одного типа, т. е. последовательностью моментов поступления или промежутков времени между поставками, либо иным способом задания потока поставок.

Несмотря на то, что на практике потоки товаров, как правило, являются неоднородными. В дальнейшем под потоком товаров будем понимать однородный поток событий.

Поток неоднородных товаров можно свести к однородному потоку путем объединения нескольких групп различных товаров в один товар (например, запасные части для автомобилей).

В дальнейшем мы также ограничимся рассмотрением финитных потоков товаров, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число товаров, и математическое ожидание числа поступающих товаров также является конечной величиной.

Потоки товаров классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия.

Стационарность - свойства потока, когда вероятность поставки того или иного числа товаров в течение наблюдаемого участка времени, зависит только от длины этого участка

Поставки (потоки) товаров в системе производства могут резко колебаться в зависимости от сезона, времени суток: количество поставляемых товаров в определенные дневные и вечерние часы может достигать максимальной величины, а в ночные часы может уменьшиться почти до нуля. Это значит, что вероятность поступления какого-либо числа товаров в определенный промежуток времени зависит от местонахождения на оси времени этого промежутка и, следовательно, поток товаров, поступающих в течение суток от любой группы производителей в сеть распределения, является нестационарным.

При изучении математической модели рынка в большинстве случаев в курсе рассматривается стационарный поток товаров.

При таком типе потока вероятность не зависит от того, где на оси времени расположен промежуток времени [t_0, t_1) , вероятность поступления K[t_0,t_i) событий одна и та же.

Точнее это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа событий за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным.

Заметим, что внутри ограниченного отрезка времени, например часа, не стационарность потока событий мало ощутима, что позволяет для многих практических задач полагать стационарным поток товаров, поступающих от большой группы производителей (100 и более) за небольшой отрезок времени.

Ординарность - потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более товаров в любой момент времени .

Примером сведения рассмотрения неординарных потоков к типу ординарного является рассмотрение периодических поставок автомобилей со случайным периодом, которые могут быть неординарными.

Но если их рассматривать поставки в виде партий, то они могут рассматриваться как ординарные.

Отсутствие последействия - свойства потока, когда вероятность не зависит от момента и типа совершения предыдущих событий.

Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость поступления случайного потока товаров после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.

Примером потока без последействия может служить поток поступления на рынок партий мобильных телефонов. Действительно, вероятность поступления какого-либо числа мобильных телефонов на рынок при налаженном массовом выпуске на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления этих партий до начала данного отрезка.

Поток событий является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа событий за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка. Например, фирма следит за количеством поставленных мобильных телефонов, и преднамеренно уменьшает выпуск, чтобы не было избыточного предложения.

1.2.3 Основные числовые характеристики потоков товаров

Для исследования процесс функционирования рынка нужно рассмотреть многие числовые характеристики. Будем рассматривать их постепенно. В начале определим характеристики, связанные с частотой поступления товара на рынок без исследования какой товар, какие его потребительские свойства и т.п.

К основным характеристикам потока товаров следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность.

Ведущая функция потока товаров - $\Lambda (t)$ определяется как математическое ожидание поступления числа партий товаров на отрезке времени от 0 до .

Следует подчеркнуть важность в этом определении слова число партий.

Более просто, она показывает, сколько в среднем партий товаров может поступить за рассматриваемый период (неделя, месяц, год...). Их может быть 5 партий, 100 партий и т.п. Если поток неординарный, то они могут поступить в один момент или нескольких моментах.

Пусть - $\Lambda (t)$ математическое ожидание числа партий, поступающих в интервал [0,t ) . Функцию $\Lambda (t)$ называют ведущей функцией потока.

$\Lambda (t) = \frac {\sum\limits_i^nk_i(t)}{n}$

- число наблюдений,

k_i(t) - число партий товаров, поступивших за интервал времени [0,t )

в -й период наблюдений (неделя, месяц, год….).

По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:

$\mu (t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (t+\Delta t)- \Lambda (t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (\Delta t)}{\Delta t}$

Для стационарного потока мгновенная интенсивность постоянна в любой момент времени на заданном интервале. Для стационарного потока

интенсивность $\mu$ есть математическое ожидание числа вызовов поступающих в единицу времени.

$\mu = \frac{\Lambda(t)}{t}$

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Распределение вероятности имеет вид:

$P_{k\geq 1}=a_0+a_1t$

Тогда параметр потока постоянная величина $\lambda (t)=a_1$ .

Например, вероятность поступления партий купальных костюмов в начале сезона увеличиваются по линейному закону в 2 раза каждую неделю.

Пример 2. Распределение вероятности имеет вид:

$P_{k\geq 1}=1-e^{-at}$

В этом примере, вероятность поступления партий купальных костюмов в конце сезона уменьшается экспоненциально каждую неделю.

Тогда параметр потока определяется из выражения $\lambda (t)=a{e^{at}}$

Параметр стационарного потока является постоянным, не зависящим от времени $\lambda (t)=\lambda >0$ . Для любого стационарного потока всегда имеет место неравенство $\mu \geq \lambda$ . Если поток ещё и ординарный, то $\mu = \lambda$ .

Параметром потока товаров $\lambda (t)$ в момент называют предел отношения вероятности поступления хотя бы одной партии товаров на интервале $[t , t+\Delta t )$ к длительности этого интервала $\Delta t$ при $\Delta t \rightarrow 0$

$\lambda (t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1} (t, t + \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1}(\Delta t)}{\Delta t}$

$\lambda (t)=\frac{d[P_{K \geq 1}(t)]}{dt}$

Другими словами, параметр потока есть производная вероятности

поступления партий товаров в момент - плотность функции распределения.

Она указывает число моментов поступления.

В отличие от ведущей функции потока $\Lambda (0,t)$ , определяющей математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени (0, t) , параметр потока $\lambda (0,t)$ характеризует не поток вызовов, а поток моментов поступления партий товаров, и эта характеристика относится не ко всему отрезку (0, t) , а лишь к фиксированному моменту .

Для любых потоков вызовов $\mu (t) \geq \lambda (t)$ , причем для ординарных потоков $\mu (t) = \lambda (t)$ .

Для стационарных потоков интенсивность и параметр, постоянные величины: $\mu (t) =\mu$ , $\lambda (t)=\lambda$ (поскольку в каждый момент поступает только одна партия товаров). Для любых стационарных потоков $\mu \geq \lambda$ , а для стационарных ординарных $\mu = \lambda$ .

Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. С точки зрения последействия различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием.

Начнем рассмотрение этих классов с потоков без последействия.

Дальше >>

Авторизоваться

Рынок как система обслуживания случайных потоков

Математическая модель рынка

1.2.2. Принципы классификации потоков событий

1.2.3 Основные числовые характеристики потоков товаров

Вопросы и ответы