Основы Maxima

2.7.7 Преобразование тригонометрических выражений

Функция раскладывает все тригонометрические и гиперболические функции от сумм и произведений в комбинации соответствующих функций единичных углов и аргументов. Для усиления пользовательского контроля один вызов выполняет упрощение на одном уровне. Для управления вычислением имеется флаг . Изначально флаг установлен в . Если флаг установить в , то функция будет работать до тех пор, пока выражение не перестанет меняться.

(%i1)	x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;

(%i2)	trigexpand(sin(10*x+y));

(%i3)	trigexpand(sin(3*x)+cos(4*x));

Функция trigreduce свёртывает все произведения тригонометрических и гиперболических функций в комбинации соответствующих функции от сумм. Функция работает не до конца, так что повторный вызов может изменить выражение. При вызове функции в формате trigreduce(expr,x) преобразования осуществляются относительно функций x.

Примеры:

(%i8)	trigreduce(cos(x)^4 + cos(x)^3 + cos(x)^2 + cos(x) + 1);

(%i9)	trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);

Функция упрощает тригонометрические и и гиперболические выражения, применяя к ним правила и .

(%i1)	trigsimp(sin(x)^2+3*cos(x)^2);

(%i2)	trigsimp(sinh(x)^2+3*cosh(x)^2);

Функция (синтаксис вызова ) приводит заданное тригонометрическое выражение к канонической упрощённой квазилинейной форме. Это выражение рассматривается как рациональное, содержащее , аргументы которых линейные формы некоторых переменных и ( — целое). Всегда, когда возможно, заданное выражение линеаризуется.

Пример:

(%i1) trigrat((1+sin(2*b)-cos(2*b))/sin(b));

2.7.8 Преобразование степенных и логарифмических выражений

Функция radcan упрощает выражения, содержащие экспоненты, логарифмы и радикалы, путём преобразования к форме, которая является канонической для широкого класса выражений. Переменные в выражении упорядочиваются. Эквивалентные выражения в этом классе не обязательно одинаковы, но их разность упрощается применением radcan до нуля.

Примеры:

(%i1)	(log(x+x^2)-log(x))^a/log(1+x)^(a/2);

(%i2)	radcan(%);

(%i10)	(%e^x-1)/(1+%e^(x/2));

(%i11)	radcan(%);

Функция рекурсивно сканирует выражение , преобразуя выражения вида к форме .

Пример:

(%i1)	2*(a*log(x)+3*b*log(y));

(%i2)	logcontract(%);

Если объявить переменную целой (используя ), функция позволяет включить эту переменную в показатель степени:

(%i1)	declare(n,integer);

(%i2)	logcontract(3*a*n*log(x));

2.7.9 Пользовательские функции

Для записи функции необходимо указать её название, а затем, в круглых скобках записать через запятую значения аргументов. Если значением аргумента является список, то он заключается в квадратные скобки, а элементы списка также разделяются запятыми.

Пример:

sin(x);
integrate(sin(x),x,-5,5);
plot2d([sin(x)+3,cos(x)],[x,-%pi,%pi],[y,-5,5]);

Пользователь может задать собственные функции. Для этого сначала указывается название функции, в скобках перечисляются названия аргументов, после знаков := (двоеточие и равно) следует описание функции. После задания пользовательская функция вызывается точно так, как и встроенные функции Maxima.

Пример:

(%i44)	f(x):=x^2;

(%i45)	f(3 + 7);

Не следует использовать для функций названия, зарезервированные для встроенных функций Maxima. Для создания функций используется также встроенная функция , которая позволяет преобразовать выражение в функцию. Синтаксис вызова довольно многообразен:

Варианты вызова функции различаются, какой именно объект создаётся: ординарная функция (аргументы в круглых скобках) или массив (аргументы в квадратных скобках). Если первый аргумент — операторы , то функция создаётся и вычисляется (аналогично и ev).

Примеры:

Ординарная функция:

(%i1)	expr : cos(y) - sin(x);

(%i2)	define (F1 (x, y), expr);

(%i3)	factor(F1(a,b));

Создание функции-массива:

(%i1)	define (G2 [x, y], x.y - y.x);

Создание массива:

(%i2)	define (arraymake (F, [u]), cos(u) + 1);

Использование функции для задания пользовательской функции:

(%i3)	define (ev (foo (x, y)), sin(x) - cos(y));