Введение.Возникновение и развитие систем компьютерной математики
Введение
Данная книга посвящена открытым программным средствам, позволяющим провести весь цикл разработки какой-либо математической модели: от поиска и просмотра необходимой литературы до непосредственного решения задачи (аналитического и/или численного) и подготовки отчёта или статьи к печати. В ней предпринята попытка объяснить, что система аналитических вычислений Maxima и (если необходимо) вычислительная среда Octave — хороший выбор для проведения любой учебной задачи или серьёзного исследования, где требуется математика — от курсовой работы до научной или инженерной разработки высокого класса. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.
В настоящее время компьютерные программы этого класса (проприетарные — Maple, Mathematica, MATLAB, MathCad и др., или с открытым кодом) находят самое широкое применение в научных исследованиях, становятся одним из обязательных компонентов компьютерных технологий, используемых в образовании.
Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Всё это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чём говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и преподавании.
Для школьников системы компьютерной математики (СКМ) являются незаменимым помощником в изучении математики, физики, информатики, освобождая их от рутинных расчётов и сосредотачивая их внимание на сущности метода решения той или иной задачи. Применение СКМ позволяет решать целый спектр новых трудоёмких, но интересных задач: от упрощения громоздких алгебраических выражений, аналитического решения уравнений и систем с параметрами, графических построений, до анимации графиков и пошаговой визуализации самого процесса решения. Учащимся предоставляется возможность выполнять более содержательные задания и получать наглядные результаты. Это способствует закреплению знаний и умений, приобретённых ими при изучении других школьных дисциплин, помогает в полной мере проявлять свои творческие и исследовательские способности.
Для студентов СКМ удобное средство решения всевозможных задач, связанных с символьными преобразованиями (математический анализ, высшая математика, линейная алгебра и аналитическая геометрия и т.п.), а также средство решения задач моделирования статических (описываемых алгебраическими уравнениями) и динамических (описываемых дифференциальными уравнениями) систем. Кроме того, добротная СКМ — хорошее средство создания графических иллюстраций и документов, содержащих математические формулы и выкладки. В настоящее время для проведения расчётов по всевозможным техническим дисциплинам студентами-нематематиками широко используется пакет MatCad, в основе которого лежит ядро Maple. При некотором навыке и наличии документации связка Maxima+TexMacs или ядро Maxima+интерфейс wxMaxima вполне разумная замена MathCad в Unix-среде. А наличие универсального интерфейса в виде TexMacs или Emacs позволяет объединять в одном документе расчёты, выполненные в Maxima, Octave, Axiom и т.п.
Для научных работников и инженеров СКМ незаменимое средство анализа постановки всевозможных задач моделирования. Под системами компьютерной математики понимают программное обеспечение, которое позволяет не только выполнять численные расчёты на компьютере, но и производить аналитические (символьные) преобразования различных математических и графических объектов. Все широко известные математические пакеты: Maple, Matlab, Matematica, позволяют проводить как символьные вычисления, так и использовать численные методы. В настоящее время такие системы являются одним из основных вычислительных инструментов компьютерного моделирования в реальном времени и находят применение в различных областях науки. Они открывают также новые возможности для преподавания многих учебных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, физика и информатика, экономика и статистика, экология. Применение СКМ существенно повышает производительность труда научного работника, преподавателя вуза, учителя.
Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернете, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета ТеХ и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.
1.1 Определение систем компьютерной алгебры
История математики насчитывает около трёх тысячелетий и условно может быть разделена на несколько периодов. Первый — становление и развитие понятия числа, решение простейших геометрических задач. Второй период связан с появлением "Начал" Евклида и утверждением хорошо знакомого нам способа доказательства математических утверждений с помощью цепочек логических умозаключений.
Следующий этап берёт своё начало с развития дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, последний период сопровождается появлением и распространением понятий и методов теории множеств и математической логики, на прочном фундаменте которых возвышается всё здание современной математики.
Мы живём во время начала нового периода развития математики, который связан с изобретением и применением компьютеров. Прежде всего, компьютер предоставил возможность производить сложнейшие численные расчёты для решения тех задач, которые невозможно (по крайней мере, на данный момент) решить аналитически. Появилось так называемое "компьютерное моделирование" — целая отрасль прикладной математики, в которой с помощью самых современных вычислительных средств изучается поведение многих сложных экономических, социальных, экологических и других динамических систем.
Изучение математики даёт в распоряжение будущего инженера, экономиста, научного работника не только определённую сумму знаний, но и развивает в нём способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи. Иными словами, математика развивает мышление будущего специалиста и закладывает прочный понятийный фундамент для освоения многих специальных дисциплин. Кроме того, именно с её помощью лучше всего развиваются способности логического мышления, концентрации внимания, аккуратности и усидчивости.
Компьютерная алгебра — область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для неё, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить чёткие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы слишком алгебраические, чтобы содержаться в учебниках по вычислительной математике, и слишком вычислительные, чтобы содержаться в учебниках по алгебре. При этом ответ на вопрос о том, относится ли конкретная задача к компьютерной алгебре, часто зависит от склонностей специалиста.
1.1.1 Недостатки численных расчётов
Большинство первых систем компьютерной математики (Eureka, Mercury, Excel, Lotus-123, MathCad для MS-DOS, PC MatLab и др.) предназначались для численных расчётов. Они как бы превращали компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введённой программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен — это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью, педантичностью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков.
Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближённых алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения или даже ведя к полному краху работы вычислительной системы — вплоть до злополучного "зависания".
Условия появления ошибок и сбоев не всегда известны — их оценка довольно сложна в теоретическом отношении и трудоёмка на практике. Поэтому рядовой пользователь, сталкиваясь с такой ситуацией, зачастую становится в тупик или, что намного хуже, неверно истолковывает явно ошибочные результаты вычислений, "любезно" предоставленные ему компьютером. Трудно подсчитать, сколько "открытий" на компьютере было отвергнуто из-за того, что наблюдаемые колебания, выбросы на графиках или асимптоты ошибочно вычисленных функций неверно истолковывались как новые физические закономерности моделируемых устройств и систем, тогда как на деле были лишь грубыми погрешностями численных методов решения вычислительных задач.
Многие учёные справедливо критиковали численные математические системы и программы реализации численных методов за частный характер получаемых с их помощью результатов. Они не давали возможности получить общие формулы, описывающие решение задач. Как правило, из результатов численных вычислений невозможно было сделать какие-либо общие теоретические, а подчас и практические выводы. Поэтому, прежде чем использовать такие системы в реализации серьёзных научных проектов, приходилось прибегать к дорогой и недостаточно оперативной помощи математиков-аналитиков. Именно они решали нужные задачи в аналитическом виде и предлагали более или менее приемлемые методы их численного решения на компьютерах.