Компания ALT Linux
Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 550 / 136 | Длительность: 19:00:00
Лекция 1:

Введение.Возникновение и развитие систем компьютерной математики

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >

1.2.4 Взаимосвязь систем компьютерной алгебры и традиционных математических дисциплин

Отделить компьютерную алгебру от таких математических дисциплин, как алгебра, анализ или численный анализ, нелегко.

Системы компьютерной алгебры обычно включают алгоритмы для интегрирования, вычисления элементарных трансцендентных функций, решения дифференциальных уравнений и т.п. Особенность упомянутых алгоритмов заключается в следующем:

  • они оперируют с термами и формулами и вырабатывают выходную информацию в символьной форме;
  • решение достигается посредством некоторого вида алгебраизации задачи (например, производную от полинома можно определить чисто комбинаторным образом);
  • существуют методы точного представления величин, определяемых через пределы и имеющих бесконечное численное представление.

Часто формулы, получаемые в качестве выходной информации при выполнении алгоритмов компьютерной алгебры, используются затем как входная информация в численных процедурах. Например, при интегрировании рациональных функций от нескольких переменных первое и, возможно, второе интегрирования выполняются в символьном виде, а остальные — численно.

Численные процедуры используют арифметику конечной точности и основываются на теории аппроксимации. Например, численная процедура нахождения корней не всегда может отделить все корни, так как работает с числами конечной точности; она отделяет лишь кластеры корней, диаметр которых зависит от заданной точности представления чисел и многих других параметров.

В принципе желательно и возможно описывать численные алгоритмы с той же строгостью, как и алгебраические, однако требуемая при этом детализация гораздо выше, а сходство с математической постановкой задачи менее прозрачно. С другой стороны, при использовании некоторого алгебраического алгоритма точность оплачивается большими — в общем случае существенно — временем выполнения и необходимым объёмом памяти, чем для его численного аналога.

Тем не менее можно привести много примеров таких задач, в которых аппроксимация не имеет большого смысла. Поэтому методы символьных вычислений и чисто численные алгоритмы обычно дополняют друг друга. Современные системы компьютерной алгебры обязательно включают тот или иной набор стандартных численных алгоритмов. Современные системы, рассчитанные на использование в первую очередь численных расчётов (MatLab, его клоны и т.п.) всегда включают более или менее полный набор функций, осуществляющих символьные преобразования.

1.2.5 Возможности повышения эффективности решения математических и вычислительных задач

Реализация на ЭВМ символьной математики открыла принципиально новые возможности использования вычислительных машин в естественнонаучных и прикладных исследованиях. Сейчас уже трудно указать область естественных наук, где методы аналитических вычислений на ЭВМ не нашли бы плодотворных применений. Характерной особенностью проблематики символьных преобразований является сочетание весьма тонких математических и алгоритмических методов с самыми современными методами программирования, эффективно реализующими нечисленную математику в рамках программных систем аналитических вычислений. К числу последних относятся, например, такие популярные системы, как Macsyma, Reduce, АНАЛИТИК и др.

Хорошо известно, что аналитические преобразования являются неотъемлемой частью научных исследований, и зачастую на их выполнение затрачивается больше труда, чем на остальную часть исследований, а для реализации специализированных методов, например, методов современного группового анализа дифференциальных уравнений, особенное значение имеет точность аналитических выражений. Однако ручные вычисления по любому из подобных методов требуют непомерно больших затрат времени. Именно здесь и помогают методы компьютерной алгебры (КА) и соответствующие программные системы, являющиеся практически единственным средством решения таких задач, требующих больших затрат ручных вычислений и очень чувствительных к потере точности при численном счёте на ПК.

Благодаря методам и алгоритмам аналитических вычислений современный компьютер становится уже не столько вычислительной, сколько общематематической машиной. ПК под силу реализовать интегрирование и дифференцирование символьных выражений, перестановки и перегруппировки членов, подстановки в выражения с последующим их преобразованием, решать дифференциальные уравнения и т. д. Аналитические вычисления (АВ) являются составной частью теоретической информатики, которая занимается разработкой, анализом, реализацией и применением алгебраических алгоритмов. Цели АВ лежат в области искусственного интеллекта, несмотря на то, что методы всё более и более удаляются от неё. Кроме того, используемые алгоритмы вводят в действие все менее элементарные математические средства.

Таким образом, АВ как самостоятельная дисциплина, на самом деле, лежит на стыке нескольких областей: информатики, искусственного интеллекта, современной математики (использующей нетрадиционные методы), что одновременно обогащает её и делает более трудной в исследовательском плане. Наименование этой научной дисциплины длительное время колебалось и, наконец, стабилизировалось как "Calcul formel" во французском языке, "Computer algebra" — в английском языке и "аналитические вычисления" или "компьютерная алгебра" — в русском.

Наиболее интуитивная цель АВ заключается в манипуляции с формулами. Математическая формула, описанная на одном из обычных языков программирования (Фортран, Паскаль, Бейсик,. . . ), предназначена только для численных расчётов, когда переменным и параметрам присвоены численные значения.

В языке, допускающем АВ, для этой формулы также можно получить численное значение, но, кроме того, она может стать объектом формальных преобразований: дифференцирования, разложения в ряд, различных других разложений и даже интегрирования.

Интеллектуальность разработанных на сегодняшний день САВ определяется их использованием для организации баз знаний по математическим методам в обучении и образовании. Можно выделить три вида обучения: подготовка специалистов в области АВ (студенты и аспиранты); обучение работе с САВ широкого круга пользователей (знакомство с современным инструментом исследования) и применение САВ в образовании математического и физического профиля (интенсификация образования по курсу бакалавриата).

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >