Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3092 / 880 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 2:

Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Сформулируем основные теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух независимых событий равна сумме вероятностей этих событий

\[P(A+B)= P(A)+P(B) \]

Замечание. Эта теорема распространяется на произвольное количество независимых событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из этих событий

\[P(A \cdot B)= P(A) \cdot P(B) \]

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность произведения двух зависимых событий называется произведение вероятности наступления одного из событий на условную вероятность наступления второго события $P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B_{A}) $

Определение. Суммой событий $A_{1},A_{2},\cdots , A_{k}$ называется такое событие В, которое состоит в наступлении хотя бы одного события $A_{i}$.

\[B= A_{1},A_{2},\cdots , A_{k} =  \sum\limits_{i=1}^k A_{i} \]

Определение. Произведением событий $A_{1},A_{2},\cdots , A_{k}$ называется такое событие В, которое состоит в одновременном появлении всех событий

\[B= A_{1} \cdot A_{2} \cdot \cdots \cdot A_{k} =  \prod\limits_{i=1}^k A_{i} \]

Пример 5. Два стрелка стреляют одновременно по мишени. Найти вероятности, что ...

  • оба промахнулись;
  • оба попали;
  • попал один из стрелков;
  • попал хотя бы один из стрелков,

если вероятность попадания у первого стрелка 0,7, а у второго 0,8.

Решение. Составим таблицу возможных исходов, введя обозначения попал "+", промазал "-"

Таблица возможных исходов
Стрелок 1 Попал Попал Не попал Не попал
Стрелок 2 Попал Не попал Попал Не попал

Т.е. из таблицы видим, что всего 4 вероятных исхода. Других вариантов нет. Ответим теперь на вопросы.

а) Оба стрелка промахнулись, т.е. оба события "промах первого стрелка" и "промах второго стрелка" наступили одновременно, поэтому воспользуемся теоремой умножения вероятностей

\[ \overline {P(A)} =\overline {P(A_{1})} \cdot \overline {P(A_{2})}= (1-0,7) \cdot (1-0,8) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06  \]

б) Аналогично рассуждая относительно попадания, получим

\[ P(A) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2})= 0,7 \cdot 0,8 = 0,56  \]

в) В этом случае следует воспользоваться теоремой сложения вероятностей, так как из таблицы видно, что это два взаимоисключающих исхода:

  • попал первый стрелок, то второй промахнулся,
  • если попал второй стрелок, то первый промахнулся.
\[ P(B) = P(A_{1}) \cdot \overline P(A_{2}) + P(A_{2}) \cdot \overline P(A_{1}) = 0,7 \cdot (1-0,8) +0,8 \cdot (1-0,7) =0,7 \cdot 0,2 +0,8 \cdot 0,3 =0,38  \]

г) В этом случае нас не интересует только один исход испытаний, когда промахнулись оба, поэтому ответ можно найти как

\[P(C)=1-\overline {P(A)}=1-0,06=0,94 , \]

или, перебирая последовательно все возможные варианты исходов,

\[ P(C)=P(A_{1}) \cdot P(A_{2}) +\overline {P(A_{1})} \cdot P(A_{2})  +\overline {P(A_{2})} \cdot P(A_{1}) =0,7 \cdot 0,8 + (1-0,7) \cdot 0,8+(1-0,8) \cdot 0,7 =0,94  \]