Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5053 / 1437 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Моделирование многомерных нелинейных систем.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Дана система нелинейных уравнений

\left\{ \begin{array}{l}
f_1(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0,\\ 
f_2(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0,\\ 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ 
f_n(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, 
\end{array} \right. ( 10.5)

или

f_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, i=\overline{1 \ldots n}.

Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор \bar X=[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n], удовлетворяющий системе (10.5) с точностью \varepsilon.

Метод Ньютона наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Он обеспечивает более быструю сходимость по сравнению с методом простых итераций.

В основе метода Ньютона лежит идея линеаризации всех нелинейных уравнений системы (10.5). Сообщим всей системе (10.5) малые приращения hj и разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:

\left\{ \begin{array}{l} 
f_1(x_1+h_1,x_2+h_2, \ldots, x_n+f_n)=f_1(x_1,x_2,\ldots,\x_n)+h_1 \frac{\delta f_1}{\delta x_1}+\\ 
+ h_2 \frac{\delta f_1}{\delta x_2}+\ldots+ h_n \frac{\delta f_1}{\delta x_n}+R_1,\\ 
f_2(x_1+h_1,x_2+h_2, \ldots, x_n+f_n)=f_2(x_1,x_2,\ldots,\x_n)+h_1 \frac{\delta f_2}{\delta x_1}+\\ 
+ h_2 \frac{\delta f_2}{\delta x_2}+\ldots+ h_n \frac{\delta f_2}{\delta x_n}+R_2,\\ 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ 
f_n(x_1+h_1,x_2+h_2, \ldots, x_n+f_n)=f_n(x_1,x_2,\ldots,\x_n)+h_1 \frac{\delta f_n}{\delta x_1}+\\ 
+ h_2 \frac{\delta f_n}{\delta x_2}+\ldots+ h_n \frac{\delta f_n}{\delta x_n}+R_n, 
\end{array} \right. ( 10.6)

где

hj - приращение по каждой xj;

Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.

Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения системы нелинейных уравнений (10.5) к решению системы линейных уравнений, в которой неизвестными являются приращения hj, j=\overline{1,n}

\left\{ \begin{array}{l} 
h_1\frac{\delta f_1}{\delta x_1}+ h_2\frac{\delta f_1}{\delta x_2}+ \ldots + h_n\frac{\delta f_1}{\delta x_n}+R_1 = -f_1(x_1,x_2, \ldots,x_n),\\ 
h_1\frac{\delta f_2}{\delta x_1}+ h_2\frac{\delta f_2}{\delta x_2}+ \ldots + h_n\frac{\delta f_2}{\delta x_n}+R_2 = -f_2(x_1,x_2, \ldots,x_n),\\ 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ 
h_1\frac{\delta f_n}{\delta x_1}+ h_2\frac{\delta f_n}{\delta x_2}+ \ldots + h_n\frac{\delta f_n}{\delta x_n}+R_n = -f_n(x_1,x_2, \ldots,x_n).
\end{array} \right. ( 10.7)

Система (10.7) – система линейных уравнений с неизвестными hj, j=\overline{1,n_j}. Запишем (10.7) в матричной форме

A\cdot \bar H = \bar B,

где

A=\left[ \begin{array}{l} 
\frac{\delta f_1}{\delta x_1} \frac{\delta f_1}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_1}{\delta x_n}\\ 
\frac{\delta f_2}{\delta x_1} \frac{\delta f_2}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_2}{\delta x_n}\\ 
\ldots \ldots \ldots \ldots \\ 
\frac{\delta f_n}{\delta x_1} \frac{\delta f_n}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_n}{\delta x_n} 
\end{array} \right] \text{ – матрица коэффициентов системы}, ( 10.8)
\bar B=\left[ \begin{array}{l} -f_1\\ -f_2\\ \ldots \\ -f_n \end{array} \right] \text{ – вектор свободных членов},
\bar H=\left[ \begin{array}{l}
h_1\\
h_2\\
\ldots \\
h_n
\end{array} \right] \text{ – вектор неизвестных системы}. ( 10.9)

Матрица А, составленая из частных производных a_{ij}=\frac{\delta f_i}{\delta x_j}; i=\overline{1,n}; j=\overline{1,n} ; называется матрицей Якоби или Якобианом.

Метод Ньютона состоит из двух этапов:

На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (10.3).

На втором этапе, начиная с начальной точки \overline{X^0}, необходимо решать систему (10.7) на каждом шаге итерационного процесса поиска методом Гаусса. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.

x_1 =x_1+h_1,\\ x_2 =x_2+h_2,\\ \ldots \ldots \ldots\\ x_n =x_n+h_n, ( 10.10)

или

x_j=x_j + h_j; j=\overline{1,n}.

Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие

\left|h_j\right| \le \varepsilon;\\ j=\overline{1,n} ( 10.11)

по всем приращениям одновременно.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003