НОУ ИНТУИТ | Лекция | Логические основы компьютера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Российский государственный гуманитарный университет

Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 187 / 4 | Длительность: 11:54:00

Темы: Программирование, Образование, Школа

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 6 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

Пример 5. Пусть a и b - высказывания, V(a) = 0, V(b) = 1. Тогда

$V(a \vee \neg b) = V(a) \vee V(\neg b) = V(a) \vee \neg V(b) = 0 \vee \neg 1 = 0 \vee 0 = 0.$

В общем случае, означивание атомарных высказываний однозначно определяет означивание формулы (это можно доказать с помощью индукции по числу логических связок, которые содержит формула).

Все способы означивания пропозициональной формулы перечисляются с помощью таблиц истинности. В табл. 4.1 приведены таблицы истинности для операций, определенных выше.

Таблица 4.1. Таблицы истинности
		$\neg A$	$A \& B$	$A \vee B$	$A \to B$	$A \leftrightarrow B$	$A \oplus B$	$A \mid B$	$A \downarrow B$
0	0	1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1	1	0
1	1	0	1	1	1	1	0	0	0

Формула, которая всегда истинна, т. е. истинна для любых означиваний переменных, называется тавтологией.

Невыполнимой формулой, или противоречием, называется всегда ложная формула.

Пример 6. Высказывание $A \vee \neg A$ является тавтологией, а высказывание $A \& \neg A$ - противоречием.

Проверим с помощью таблицы истинности, что высказывание $((A \to B) \to A) \to A$ является тавтологией ( табл. 4.2).

Таблица 4.2. Таблица истинности для формулы $((A \to B) \to A) \to A$
A	B	$A \to B$	$(A \to B) \to A$	$((A \to B) \to A) \to A$
0	0	1	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	1

В записи формул соблюдаются следующие приоритеты относительно символов логических связок: сначала $\neg$ , потом $\&$ и $\mid$ , после этого $\vee, \downarrow$ и $\oplus$ , затем $\to$ и, наконец, $\leftrightarrow$ . Порядок применения операций с одинаковым приоритетом регулируется скобками.

Пример 7. Следующие высказывания являются тавтологиями:

$A \to A$ ;
$A \to (B \to A)$ ;
$(\neg B \to \neg A) \to (A \to B)$ ;
$(A \to B) \& (B \to C) \to (A \to C)$ .

Свойства логических операций

Две формулы называются равными, или эквивалентными, если их значения совпадают для любых означиваний переменных. Обозначим через 1 тавтологию, а через 0 - противоречие.

Ниже перечислены основные свойства логических операций:

a & b = b & a;
$a \vee b = b \vee a$ ;
ассоциативность операций $\&$ и $\vee$ :

(a & b) & с = a & (b & с);

$(a \vee b) \vee с = a \vee (b \vee с)$ ;
законы поглощения:

$a \& (a \vee b) = a$ ;

$a \vee (a \& b) = a$ ;
дистрибутивность:

$a \& (b \vee с) = (a \& b) \vee (a \& с);\\ a \vee (b \& с) = (a \vee b) \& (a \vee с)$ ;
дополнительность (законы 0 и 1):

$a \& \neg a =0$ ;

$a \vee \neg a =1$ ,

для произвольных элементов a, b и c (все свойства легко проверить с помощью таблиц истинности).

Замечание 1. Множество операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания обладает свойством полноты: остальные логические операции можно выразить через эти три. В самом деле,

$A \to B = \neg A \vee B; \\ A \leftrightarrow B = (A \& B) \vee (\neg A \& \neg B);\\ A \oplus B = (A \& \neg B) \vee (\neg A \& B);\\ A \mid B = \neg (A \& B);\\ A \downarrow B = \neg (A \vee B).$

Таким образом, для произвольного высказывания существует эквивалентное ему высказывание, содержащее из связок только $\&$ , $\vee$ и $\neg$ .

Замечание 2. Множество операций конъюнкции и отрицания обладает свойством полноты. Действительно, $A \vee B = \neg (\neg A \& \neg B)$ .

Замечание 3. Множество операций дизъюнкции и отрицания обладает свойством полноты. В самом деле, $A \& B = \neg (\neg A \vee \neg B)$ .

Замечание 4. Штрих Шеффера обладает свойством полноты. Действительно, $\neg A = A \mid A; A \& B = (A \mid B) \mid (A \mid B)$ .

Замечание 5. Стрелка Пирса обладает свойством полноты. В самом деле, $\neg A = A \downarrow A; A \vee B = (A \downarrow B) \downarrow (A \downarrow B)$ .

Свойства операций используются для упрощения формул.

В дальнейшем знак $\&$ иногда заменяется знаком * или опускается, а отрицание формулы a обозначается в виде $\bar a$ .

Пример 8. Имеем:

$\overline{ab}\vee b \vee \bar c=\bar a \vee \bar b \vee \bar b \bar {\bar c}=\bar a \vee \bar b=\overline _ab}$
$\overline {ab\vee b \vee c}(\bar a c)=\overline{b \vee c}(\bar a c)=\bar b \bar c \bar a c=0$

Понятие булевой алгебры

Множество M, на котором определены бинарные операции $\vee$ и $\&$ и унарная операция $\neg$ , для которых выполняются свойства 1 - 4 из п. 4.1.4 (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и законы поглощения), и в котором существуют элементы 0 и 1, удовлетворяющие свойству 5 (законы 0 и 1), называется булевой алгеброй.

Символы 0 и 1 обозначают некоторые элементы множества M, а символы $\vee$ , $\&$ и $\neg$ - операции на этом множестве. Операция $\neg$ называется операцией дополнения, или отрицания. Операции $\vee$ и $\&$ по-прежнему будут называться операциями дизъюнкции и конъюнкции, соответственно.

Равенства, выражающие свойства 1 - 5 булевой алгебры, перечисленные в п. 4.1.4, называются еще тождествами булевой алгебры.

Пример 9. Множество {0, 1} c операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания является булевой алгеброй.

Пример 10. Множество высказываний S c операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания является булевой алгеброй.

Пример 11 (булева алгебра множеств). Пусть M - множество. Множество подмножеств M c операциями объединения, пересечения и дополнения до M является булевой алгеброй. Здесь $0 = \varnothing, 1 = M$ .

Утверждение 1. Булева алгебра обладает следующим свойством:

если a & b = a & c и $a \vee b = a \vee c$ , то b = c.

Доказательство. Имеем:

$b= b \vee (b \& a) = b \vee (c \& a) = (b \vee c) \& (b \vee a) = \\ = (b \vee c) \& (c \vee a) = c \vee (b \& a) = c \vee (c \& a) = c.$

Замечание. Если в каждом равенстве из свойств 1 - 5 одновременно заменить символ $\&$ на символ $\vee$ , символ $\vee$ на символ $\&$ , а также 0 на 1 и 1 на 0, то множество равенств не изменится. Символы $\&$ и $\vee$ , а также символы 0 и 1 называются двойственными.

Равенства, полученные заменой символов на двойственные им, называются двойственными. Если из тождеств булевой алгебры следует какое-либо равенство, то следует и двойственное ему равенство.

Утверждение 2. Операции булевой алгебры обладают следующими свойствами:

конъюнкция с 1 и дизъюнкция с 0:

a & 1 = a;

$a \vee 0 = a$ ;
идемпотентность операций $\&$ и $\vee$ :

a & a = a;

$a \vee a = a$ ;
конъюнкция с 0 и дизъюнкция с 1:

a & 0 = 0;

$a \vee 1 = 1$ ;
дополнение 0 и 1:

$\neg 0 = 1$ ;
$\neg 1 = 0$ ;
инволютивность дополнения:

$\neg\neg a = a$ ;
законы де Моргана:

$\neg (a \& b) = \neg a \vee \neg b;\\ \neg (a \vee b) = \neg a \& \neg b$
для произвольного элемента a множества M.

Доказательство. Докажем по одному из двойственных равенств, второе равенство получается взаимной заменой двойственных символов:

$a \& 1 = a \& (a \vee \neg a) = a$ (по закону 0 и 1 и закону поглощения);
$a = a \& 1 = a \& (a \vee \neg a) = (a \& a) \vee (a \& \neg a) = (a \& a) \vee 0 = a \& a$ (по закону 0 и 1 и закону дистрибутивности);
$a \& 0 = a \& (a \& \neg a) = (a \& a) \& \neg a = a \& \neg a = 0$ ,
$\neg 0 = \neg 0 \vee 0 = 0 \vee \neg 0 = 1$ ;
$\neg\neg a \& \neg a = 0 = a \& \neg a и \neg\neg a \vee \neg a = 1 = a \vee \neg a$ ,

следовательно, по утверждению 1, $\neg\neg a = a$ ;
аналогично,

$a \& b \& (\neg a \vee \neg b) = (a \& b \& \neg a) \vee (a \& b \& \neg b) = 0 \vee 0 = 0;\\ a \& b \vee (\neg a \vee \neg b) = (a \vee \neg a \vee \neg b) \& (b \vee \neg a \vee \neg b) = 1,$
поэтому $\neg (a \& b) = \neg a \vee \neg b.$

Следствие 1. Элементы 0 и 1 в булевой алгебре единственны. В самом деле, пусть имеются элементы 0' и 1' из множества M, такие что $a \& \neg a = 0'$ и $a \vee \neg a = 1'$ для произвольного элемента a из M. Тогда

$0' = 0' \vee 0 = 0 \vee 0' = 0;\\ 1' = 1' \& 1 = 1 \& 1' = 1.$

Следствие 2. 1) Если a & b = 1, то a = 1 и b = 1.

2) Если $a \vee b = 0$ , то a = 0 и b = 0.

Действительно, пусть $a \& b = 1$ . Тогда

$a = a \& 1 = a \& (a \& b) = (a \& a) \& b = a \& b = 1,$

и, точно так же, b = 1. Аналогично для двойственного утверждения.

Логические задачи

Рассмотрим примеры решения логических задач с помощью алгебры логики.

Пример 12. Аня, Боря, Витя, Гриша и Даша решают, пойти ли им в кино. Ситуация описывается следующими высказываниями:

Если Аня пойдет, то и Боря пойдет;
Хотя бы кто-то из Вити и Гриши пойдет;
В кино пойдет либо Боря, либо Даша, но не оба;
Витя и Даша либо оба пойдут в кино, либо оба не пойдут;
Если Гриша пойдет, то пойдут также Аня и Витя.

Предполагая, что все высказывания истинны, определите, кто пойдет в кино.

Введем атомарные высказывания:

a: "Аня пойдет в кино"; b: "Боря пойдет в кино";

v: "Витя пойдет в кино";g: "Гриша пойдет в кино";

d: "Даша пойдет в кино".

Представим в виде высказываний условия задачи:

$a \to b$ ;
$v \vee g$ ;
$b \oplus d$ ;
$v \leftrightarrow d$ ;
$g \to a \& v$ .

Выразим все операции через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. В результате получим:

$1=(\bar a \vee b)(v \vee g)(b \bar d \vee \bar b d)(vd \vee \bar v \bar d)(\bar g \vee av)=\\ \((\bar a \vee b)(b \bar d \vee \bar b d))((v \vee g)(\bar g \vee av))(vd \vee \bar v \bar d)=\\ =(b \bar d \vee \bar a \bar b d)(v \bar g \vee av)(vd \vee \bar v \bar d)=\\ =(b \bar d \vee \bar a \bar b d))(v \bar g d \vee avd)=\bar a \bar b v \bar g d.$

Поэтому $\bar a=1, \bar b=1, v=1, \bar g =1, d=1$ следовательно, a=0, b=0, v=0, g=0, d=0,

так что, Витя и Даша пойдут в кино, а Аня, Боря и Гриша не пойдут.

Дальше >>

Введение в информатику