НОУ ИНТУИТ | Введение в информатику. Лекция 1: Представление чисел в системах счисления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Российский государственный гуманитарный университет

Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 315 / 29 | Длительность: 11:54:00

Темы: Программирование, Образование, Школа

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 8 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

Пусть теперь в системе счисления с основанием p для целого неотрицательного числа x выполняется разложение

$x = c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_m,$

где m = k(n + 1) - 1, $k > 1, n \ge 0; 0 \le c_j < p$ , для j = 0, 1, ..., m. Число слагаемых в правой части равенства кратно k. Разобьем их последовательно на группы, содержащие по k элементов (очевидно, что таких групп будет n + 1), в результате будем иметь:

$x=c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_{k - 1}p^{m - k + 1} + c_kp^{m - k} + c_{k + 1}p^{m - k + 1} + \dots + c_{2k - 1}p^{m - 1} +\dots\\ + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m = (c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1})p^{m - k + 1} +\\ + (c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1})p^{m - k} +\dots + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.$

Положим

$d_0 = c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1},\\ d_1 = c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1},\\ \dots d_n = c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.$

Ясно, что $0 \leqslant d_j < p^k$ , для j = 0, 1, ..., n. Кроме того, m = kn + k - 1. Поэтому представление числа x в системе счисления с основанием p^k имеет вид: $x = d_0p^{kn} + d_1(p^k)^{n - 1} + \dots + d_n$

Таким образом, при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием p^k , достаточно сгруппировать буквы исходного слова в слова длины k, при необходимости добавив нули в начале слова, а затем заменить эти слова

Пример 18. Для числа 73 по таблицам имеем:

$73 = 1001001_2 = 01 00 10 01 = 1021_4 = 001 001 001 = 111_8 = 0100 1001 = 49_{16}.$

Преобразование дробной части числа, если она имеет конечное число знаков после запятой, выполняется аналогичным образом, так как

$0,b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p}= p^{ - k} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p} =p{ - k - 1} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k}0_p = \dots$

Очевидно, что для дробной части при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием p^k необходимое число нулей добавляется справа.

Пример 19. С помощью таблиц найдем двоичное представление чисел 0,032_4 , 0,704_8 и $0,9e0a_{16}$ . Имеем:

$0,032_4 = 0,00 11 10 = 0,00111_2;\\ 0,702_8 = 0,111 000 010 = 0,11100001_2;\\ 0,9e0a_{16} = 0,1001 1110 0000 1010 = 0,100111100000101_2.$

Пример 20. Найдем представление чисел 0,011_2 и 10101,10011_2 в системах счисления с основаниями 4, 8 и 16 с помощью таблиц:

$0,011_2 = 0,0110_2 = 0,12_4 = 0,3_8 = 0,6_{16};$
$10101,10011_2 = 01 01 01,10 01 10 = 111,212_4 = 010 101,100 110 = 25,46_8= 0001 0101,1001 1000 = 15,98_{16}.$

Ниже приведена общая таблица для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 3 и 9, а также 4 и 16 ( Таблица ).

Рис. 1.2. Соответствие между системами счисления с основаниями 3 и 9, 4 и 16

Пример 21. 1) Найдем для чисел 2805_09 и $1f58_{16}$ их троичное и четверичное представления, соответственно. По таблице h имеем:

$2805_9 = 02 22 00 12 = 2220012_3;\\ 1f58_{16} = 01 33 11 20 = 1331120_4.$

2) Представление чисел 2120121_3 и 10032_4 в системах счисления с основаниями 9 и 16, соответственно, по рис 1.2 находится следующим образом:

$2120121_3 = 02 12 01 21 = 2517_9;\\ 10032_4 = 01 00 32 = 10e_{16}.$

В системах счисления с основаниями от 11 до 36 включительно цифрами являются десятичные цифры и буквы латинского алфавита. Эти цифры приведены в табл.. Ячейка с индексами i и j содержит цифру, значение которой в десятичной системе равно 10i + j.

Рис. 1.3. Обозначения цифр в системах счисления...

Пример 22. 1) Найдем шестеричное представление числа $9o4zaaaaaaa_{36}$ . Имеем: $9_{36} = 9_{10} = 13_6, o_{36} = 24_{10} = 40_6, z_{36} = 35_{10} = 55_6$ . Поэтому

$9o4z_{36} = 13 40 04 55 = 13400455_6.$

2) Найдем представление числа 142124403_5 в системе счисления с основанием 25. Имеем: $42_5 = 22_{10}; 12_5 = 7_{10}; 44_5 = 24_{10}.$

Следовательно,

$142124403_5 = 01 42 12 44 03 = 1m7o3_{25}.$

В системах счисления с основанием 37 и более в качестве цифр часто используются десятичные числа. В этом случае цифры состоят из нескольких знаков. Мы в записи чисел будем просто разделять такие цифры пробелами (как в системе Wolfram|Alpha - см. гл. 7).

Пример 23. Вычислим 60-ричное представление числа 43000. Имеем:

43000 = 716 * 60 + 40;
716 = 11 * 60 + 56.

Таким образом, $43000 = 11 56 40_{60}$ . Отсюда, в частности, следует, что 43000 секунд составляет 11 часов, 56 минут и 40 секунд.

В вавилонской системе счисления c основанием 60 для записи цифр, от 1 до 59, использовались два знака: стоячий клин для обозначения 1 и лежачий для обозначения 10 ( рис. 1.1 (a)). Разряды отделялись пробелами, иногда для разделения цифр использовались специальные символы, по причине отсутствия нуля. В ней число 43000 могло быть записано так, как показано на рис. 1.4 (b).

Рис. 1.4. Рис. 1.4. (a) Клинописное обозначение чисел 1 (слева) и 10 (справа); (b) представление числа 43000

Пример 24. Найдем семеричное представление числа $3 42,0 24_{49}$ . Имеем: $3_{49} = 03_7, 42_{49} = 60_{7}, 24_{49} = 33_7$ . Поэтому

$3 42,0 24_{49} = 03 60,00 33 = 360,0033_7.$

Пример 25. Найдем представление числа 2310,1022_4 в системе счисления с основанием 64:

$2310,1022_4 = 002 310,102 200 = 2 52,18 32_{64},$

так как 310_4 = 3 * 16 + 1 * 4 + 0 = 52, 102_4 = 16 + 2 = 18, 200_4 = 2 * 16 = 32 .

Упражнения

Запишите число 100 в системе счисления с основанием

a) 2;

b) 3;

c) 12;

d) 20;

e) 60.
Найдите двоичное представление числа

a) 1,1;

b) 7,7;

c) 14,14;

d) 33,3.
Представьте число 22,2 в системе счисления с основанием

a) 4;

b) 8;

c) 12;

d) 16.
Найдите двоичное представление числа $\pi$ , ограничившись в его двоичном виде тремя знаками после запятой.
Определите, в какой системе счисления верно равенство .
Покажите, что в системе счисления с основанием p, где , число является кубом числа .
Найдите десятичное представление числа

a) $a1,1a_{16}$ ;

b) ;

c) ;

d) .
Не используя (4), представьте в виде рациональной дроби число

a) 0,22(321);

b)
Покажите, что если , то $0,22(321)_p=\frac{p^2(2p(p+1)+3)-1}{p^2(p^3-1)}$ .
Представьте в виде рациональной дроби число

a) 0,(023);

b) 0,0(7);

c) ;

d) .
Определите число, предшествующее числу $2020_{16}$ .
Найдите число, следующее за числом $fa9f_{16}$ .
Постройте 1) таблицу сложения; 2) таблицу умножения в системе счисления с основанием

a) 2;

b) 3;

c) 4;

d) 8;

e) 16.
Выполните операции сложения, вычитания, умножения и деления в системе счисления с основанием p для чисел

a) и , p = 2;

b) $1a0f_{16}$ и $2c_{16}$ , p = 16.
Выполните действия в троичной системе счисления:

a) ;

b) ;

c) $112\frac23$ ;

d) .
Выполните действия в системе счисления с указанным основанием:

a) $6_{12} + 29_{12}$ ;

b) $99_{20} - 33_{20}$ ;

c) $5_{12} * 12_{12}$ ;

d) $20_{20} * 15_{20}$ .
Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) , p = 3;

b) , p = 7.
Используя таблицу тетрад, постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления 2 и 32.
Найдите представление числа в системе счисления с основанием

a) 4;

b) 8;

c) 16;

d) 32.
Найдите представление в двоичной системе счисления числа

a) ;

b) ;

c) $f0cd,a09_{16}$ .
Найдите представление в двоичной системе счисления числа

a) $3o7,b_{32}$ ;

b) $2 11,5_{100}$ .
Постройте общую таблицу

a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 5 и 25, а также 6 и 36;

a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями от 2 до 6 включительно и системами счисления с основаниями, равными квадратам этих чисел, т. е. с основаниями 4, 9, 16, 25 и 36, соответственно;
Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) , p = 9;

b) , p = 3;

c) , p = 16;

d) $x = 7ea8,3d_{16}$ , p = 4;

e) , p = 25;

f) $x = 2efd,o8m_{25}$ , p = 5;

g) , p = 36;

h) $x = zzx7,5ni7_{36}$ , p = 6.
Постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления

a) 4 и 64;

b) 8 и 64;

c) 7 и 49.
Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) , p = 100;

b) $x = 86 5,0 29_{100}$ , p = 10;

c) , p = 64;

d) $x = 22 35,12 5_{64}$ , p = 4;

e) , p = 64;

f) $x = 2 38,11 25_{64}$ , p = 8;

g) , p = 49;

h) $x = 2 48,8 23_{49}$ , p = 7;

i) , p = 64;

j) $x =14 3,34 5_{64}$ , p = 2;

k) , p = 60;

l) $x = 22 35,12 5_{60}$ , p = 10.