НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 8: Игра Эренфойхта и понижение мощности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: платный | Студентов: 20 / 1 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Рассматриваются критерии элементарной эквивалентности двух интерпретации одной сигнатуры в терминах игры двух игроков (двух интерпретации)

Игра Эренфойхта

Вернемся от алгебры к логике и сформулируем общий критерий элементарной эквивалентности двух интерпретаций некоторой сигнатуры. Будем считать, что наша сигнатура содержит только предикатные символы. (Это ограничение не очень существенно, так как функцию $f(x_1,\dots,x_n)$ можно заменить предикатом $f(x_1,\dots,x_n)\hm=y$ , имеющим на один аргумент больше.) Кроме того, будем считать, что сигнатура конечна (в некоторый момент наших рассуждений это будет существенно).

Критерий будет сформулирован в терминах некоторой игры, называемой игрой Эренфойхта. В ней участвуют два игрока, называемые Новатором ( Н ) и Консерватором ( К ). Игра определяется выбранной парой интерпретаций; как мы докажем, интерпретации элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда К имеет выигрышную стратегию в этой игре.

В начале игры Новатор объявляет натуральное число . Далее они ходят по очереди, начиная с Н ; каждый из игроков делает ходов, после чего определяется победитель.

На -м ходу Н выбирает элемент в одной из интерпретаций (в любой из двух, причем выбор может зависеть от номера хода) и помечает его числом . В ответ К выбирает некоторый элемент из другой интерпретации и также помечает его числом . После ходов игра заканчивается. При этом в каждой интерпретации элементов оказываются помеченными числами от до (мы не учитываем, кто именно из игроков их пометил). Обозначим эти элементы $a_1,a_2,\ldots,a_k$ (для первой интерпретации; элемент a_i имеет пометку ) и $b_1,b_2,\ldots,b_k$ (для второй). Элементы a_i и b_i (с одним и тем же ) будем называть соответствующими друг другу. Посмотрим, найдется ли предикат сигнатуры, который различает помеченные элементы первой и второй интерпретации (то есть истинен на некотором наборе помеченных элементов в одной интерпретации, но ложен на соответствующих элементах другой). Если такой предикат найдется, то выигрывает Новатор, в противном случае — Консерватор.

Прежде чем доказывать, что эта игра дает критерий элементарной эквивалентности, рассмотрим несколько простых примеров.

Среди элементов $a_1,\dots,a_k$ и $b_1,\dots,b_k$ могут быть одинаковые. Если в нашей сигнатуре есть предикат равенства и в обеих интерпретациях он интерпретируется как совпадение элементов, то Консерватор обязан повторять ходы, если их повторил Новатор (скажем, если , а $b_i\ne b_j$ , то Новатор выигрывает, поскольку предикат равенства истинен в одной интерпретации, но ложен на соответствующих элементах другой).
Если интерпретации изоморфны, то у Консерватора есть очевидный способ выиграть: изоморфизм заранее группирует все элементы в пары соответствующих. (Это согласуется с тем, что изоморфные интерпретации элементарно эквивалентны.)
Рассмотрим сигнатуру упорядоченных множеств (предикаты и ) и ее естественные интерпретации в $\mathbb N$ и $\mathbb Z$ . Они не являются элементарно эквивалентными, поскольку среди натуральных чисел есть наименьшее, а среди целых — нет. Покажем, что в игре Эренфойхта для данных интерпретаций выигрывает Новатор.

Н объявляет, что игра будет проведена в два хода и на первом ходу помечает число из интерпретации $\mathbb N$ . В ответ К вынужден пометить некоторое число из $\mathbb Z$ . На втором ходу Н помечает в $\mathbb Z$ некоторое число, меньшее (например, ). Теперь К проигрывает при любом ответном ходе, поскольку пометить число, меньшее нуля, он не может.
Для той же сигнатуры рассмотрим интерпретации в $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ . Эти интерпретации не элементарно эквивалентны, поскольку порядок на рациональных числах плотен, а на целых — нет. Покажем, что в игре Эренфойхта снова выигрывает Новатор.

Игра будет проходить в три хода. На первых двух ходах Н помечает числа и из $\mathbb{Z}$ . К должен пометить некоторые элементы и из $\mathbb Q$ . При этом должно быть (иначе Н заведомо выиграет). Тогда на третьем ходу Н помечает любое рациональное число, лежащее строго между и . Так как между и нет натуральных чисел, К не может соблюсти требования игры и проигрывает при любом ходе.
Рассмотрим теперь упорядоченные множества $\mathbb Z$ и $\mathbb Z+\mathbb Z$ . Как мы видели, они элементарно эквивалентны, и потому должна существовать выигрышная стратегия для Консерватора. Как же он должен играть? Кажется разумным поддерживать одинаковые расстояния между соответствующими элементами в $\mathbb Z$ и $\mathbb Z+\mathbb Z$ . Проблема в том, что в $\mathbb Z+\mathbb Z$ некоторые расстояния бесконечны (между элементами разных слагаемых). Что же делать Консерватору, если Новатор пометил два таких элемента?

К счастью для К, он знает заранее, сколько ходов осталось до конца игры. Ясно, что если игра скоро кончится, то Н не удастся отличить бесконечное расстояние от достаточно большого. Более точно, если до конца игры остается ходов, то К может считать все расстояния, большие или равные , бесконечно большими. В конце (при ) это означает, что все ненулевые расстояния отождествляются (что правильно, так как в конце важен лишь порядок). Таким образом, К стремится поддерживать такой "инвариант" (как сказали бы программисты): соответствующие элементы в и в идут в одном и том же порядке, и расстояния между соответствующими парами соседей одинаковы (при этом все бесконечно большие расстояния считаются одинаковыми). Ясно, что такая стратегия гарантирует ему выигрыш; надо лишь проверить, что поддержать инвариант можно.

При очередном ходе Н возможны несколько случаев. Н мог разбить "конечный" (меньший , где — число оставшихся ходов) промежуток на две части. В этом случае соответствующий промежуток в другом множестве также "конечен" и имеет ту же длину, так что К должен лишь выбрать элемент на том же расстоянии от концов. Пусть Н разбил "бесконечный" (длины или больше) промежуток на две части. Тогда хотя бы одна из частей будет иметь длину $2^{s-1}$ или больше, то есть на следующем шаге будет считаться "бесконечной". Если обе части "бесконечны" (с точки зрения следующего шага), то К должен разбить "бесконечный" (длины или более) промежуток другого множества на две "бесконечные" (длины $2^{s-1}$ или более) части; это, очевидно, возможно. Если одна часть " бесконечна", а другая "конечна", то надо отложить то же "конечное" расстояние в другом множестве. Наконец, обе части не могут быть "конечными" (если каждая меньше $2^{s-1}$ , то в сумме будет меньше ).

Наконец, новый элемент мог быть больше (или меньше) всех уже отмеченных элементов интерпретации; в этом случае К должен отметить элемент другой интерпретации, находящийся на том же расстоянии от наибольшего (наименьшего) отмеченного элемента (или на "бесконечном" расстоянии, если такова была ситуация с выбранным Н элементом).