Россия, Новосибирск |
Игра Эренфойхта и понижение мощности
85. Кто выигрывает в игре Эренфойхта для упорядоченных множеств (а) и ; (б) и ; (в) и ? Как он должен играть?
Приведенные примеры делают правдоподобной связь между наличием формулы, различающей интерпретации, и выигрышной стратегии для Н. При этом число ходов, которое понадобится Новатору, соответствует кванторной глубине различающей интерпретации формулы. Кванторная глубина формулы определяется так:
- Глубина атомарных формул равна нулю.
- Глубина формул и равна максимуму глубин формул и .
- Глубина формулы равна глубине формулы .
- Глубина формул и на единицу больше глубины формулы .
Другими словами, глубина формулы — это наибольшая "глубина вложенности" кванторов (максимальная длина цепочки вложенных кванторов).
Рассмотрим позицию, которая складывается в игре после ходов Н и К (перед очередным ходом Н ) и за ходов до конца игры (таким образом, общая длина игры есть ). В этот момент в каждой из интерпретаций совместными усилиями Н и К выбрано по элементов. Пусть это будут элементы в одной интерпретации (назовем ее ) и в другой ( ).
Лемма. Если существует формула глубины с параметрами , отличающая от , то в указанной позиции Н имеет выигрышную стратегию; в противном случае ее имеет К.
Поясним смысл условия леммы. Пусть — формула глубины , все параметры которой содержатся в списке . Тогда имеет смысл ставить вопрос о ее истинности в интерпретации при значениях параметров , а также в интерпретации при значениях параметров . Если окажется, что в одном случае формула истинна, а в другом ложна, то мы говорим, что отличает от .
Пусть такая формула существует. Она представляет собой логическую (бескванторную) комбинацию некоторых формул вида и , где — формула глубины . Хотя бы одна из формул, входящих в эту комбинацию, должна также отличать от . Переходя к отрицанию, можно считать, что эта формула начинается с квантора существования. Пусть формула , имеющая вид
истинна для и ложна для . Тогда найдется такое , для которого в истинно Это и будет выигрывающим ходом Новатора; при любом ответном ходе Консерватора формула будет ложной. Таким образом, некоторая формула глубины отличает от и потому, рассуждая по индукции, мы можем считать, что в оставшейся -ходовой игре Н имеет выигрышную стратегию. (В конце концов мы придем к ситуации, когда некоторая бескванторная формула отличает элементов в от соответствующих элементов в , то есть Н выиграет.)Обратное рассуждение (если наборы не отличимы никакой формулой глубины , то К имеет выигрышную стратегию в оставшейся -ходовой игре) аналогично, но чуть более сложно. Здесь важно, что по существу есть лишь конечное число различных формул глубины .
Точнее говоря, будем называть две формулы (с параметрами) эквивалентными, если они одновременно истинны или ложны в любой интерпретации на любой оценке. Поскольку сигнатура конечна, существует лишь конечное число атомарных формул, все параметры которых содержатся среди . Существует лишь конечное число булевых функций с данным набором аргументов, поэтому существует лишь конечное число неэквивалентных бескванторных формул, все параметры которых содержатся среди . Отсюда следует, что существует лишь конечное число неэквивалентных формул вида
и потому лишь конечное число неэквивалентных формул глубины , параметры которых содержатся среди . (Здесь мы снова используем утверждение о конечности числа булевых функций с данным конечным списком аргументов, а также возможность переименовывать переменную под квантором, благодаря которой мы можем считать, что эта переменная есть .) Продолжая эти рассуждения, мы заключаем, что для любого и для любого набора переменных существует лишь конечное число неэквивалентных формул глубины , все параметры которых содержатся среди . (Здесь мы существенно используем конечность сигнатуры.)Теперь можно закончить рассуждения про игру Эренфойхта. Пусть элементы нельзя отличить от элементов с помощью формул глубины . Опишем выигрышную стратегию для К. Пусть Н выбрал произвольный элемент в одной из интерпретаций, скажем, . Рассмотрим все формулы глубины с параметрами (с точностью до эквивалентности их конечное число); некоторые из них будут истинны на , а некоторые ложны. Тогда формула, утверждающая существование с ровно такими свойствами (после квантора существования идет конъюнкция всех истинных формул и отрицаний всех ложных) будет формулой глубины , истинной на . По предположению эта формула должна быть истинной и на , и потому существует с теми же свойствами, что и . Этот элемент и должен пометить К. Теперь предположение индукции позволяет заключить, что в возникшей позиции (где до конца игры ходов) у К есть выигрышная стратегия.
Лемма доказана. Ее частным случаем является обещанный критерий элементарной эквивалентности:
Теорема 41. Интерпретации и элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда в соответствующей игре Эренфойхта выигрывает Консерватор.
86. Покажите, что условие конечности сигнатуры существенно (без него из элементарной эквивалентности не следует существование выигрышной стратегии для К ).
Заметим, что в некоторых случаях (например, для и ) игра Эренфойхта дает нам новый способ доказательства элементарной эквивалентности.