Теорема об эквивалентности доходности

Введение

Итак, в аукционе участвуют покупателей (агентов). У каждого из них есть своя внутренняя ценность , которая определяется случайной величиной , распределенной по одному и тому же распределению (в этой лекции мы будем находиться в симметричном случае). Первый момент множества из агентов, то есть случайную величину, характеризующую максимальную цену из них, обозначим через . Мы ограничимся стандартными аукционами, в которых вещь достается тому, кто больше всех предложил. При этом, конечно, то, сколько он в действительности заплатит, зависит от формы аукциона.

Для аукциона и агента введем обозначение — сколько участник ожидает заплатить, участвуя в и используя равновесную стратегию (предполагается, что равновесие в существует). Агенты в симметричном случае одинаковые, поэтому не зависит от . Введем вдобавок начальное условие: участник со ставкой платит .

Кроме того, мы будем предполагать, что агенты нейтральны к риску (risk-neutral). Нейтральный к риску агент не делает разницы между распределениями своего дохода с разными дисперсиями. Проще говоря, для него заплатить 10$, чтобы с вероятностью получить 20$, — честная сделка с нулевым доходом. В случае, когда агенты осторожны (risk-averse) и надежный доход предпочитают случайным величинам, анализ всех этих ситуаций достаточно существенно меняется; мы сейчас не будем рассматривать эту ситуацию.

Теорема будет достаточно удивительной: окажется, что в любом равновесии ожидаемые выплаты агентов (а значит, и доход продавца) одинаковы! То есть можно не ожидать, что при помощи какой-нибудь хитрой схемы аукционер сможет максимизировать свой доход, — при эгоистичных агентах, которые могут успешно рассчитать оптимальную стратегию, доходы будут совершенно однаковыми. Впервые похожий эффект заметил основатель всей теории аукционов Викри [76,77]. А теорему независимо доказали Майерсон [55] и Райли и Самуэльсон [69].

Теорема эквивалентности доходности

Начнем с формулировки теоремы эквивалентности доходности, которая касается введенных выше обозначений. Мы будем устанавливать эквивалентность доходности в терминах "дохода продавца" Revenue, но доказывать будем для ожидаемых выплат каждого из агентов. Если агент участвует в аукционе , его ожидаемая выплата равна

А ожидание дохода продавца получается как сумма всех ожидаемых выплат покупателей:

если мы находимся в симметричном случае, где все агенты равноправны.

Теорема 4.1. Пусть скрытые значения агентов распределены независимо и одинаково, и все агенты нейтральны к риску. Тогда любое симметричное равновесие любого стандартного аукциона, такое, что ожидаемая выплата агента со ставкой 0 равна нулю, дает один и тот же ожидаемый доход продавцу.

Доказательство. Будем следовать схеме, которую мы уже излагали в доказательстве теоремы 3.2. Рассмотрим первого агента: остальные следуют равновесной стратегии , а он ставит некоторое значение . Поскольку — тоже возможная ставка, существует некоторое , для которого . Здесь можно рассматривать как "ложную" внутреннюю стоимость: можно считать, что агент делает ставку по стратегии , но просто подменяет свою истинную внутреннюю стоимость на .

Агент выигрывает, когда его ставка превышает самую большую из других ставок , то есть (так как возрастает) когда . Тогда игрок ожидает получить следующую прибыль:

где (распределение ). Заметим, что зависит от и от , но не зависит от внутренней ценности .

Нам нужно максимизировать прибыль, которую агент ожидает получить. Метод максимизации будет самый что ни на есть классический: взять производную и приравнять ее нулю. Дифференцируя выражение для ожидаемой прибыли по , получим следующее равенство:

Но мы находимся в равновесии, а это значит, что агенту нужно поступать в соответствии со стратегией , применяя ее к своей истинной скрытой ценности. Иначе говоря, максимум достигается, если агент берет и сообщает . Приравняв в предыдущем уравнении и , получим следующее:

Когда мы найдем решение этого дифференциального уравнения, мы получим выражение для :

В итоге у нас получилось, что ожидаемая выплата агента не зависит от , а только от распределения на . Поскольку ожидаемый доход продавца складывается из ожидаемых выплат агентов, получается, что этот доход тоже не зависит от .

Давайте рассмотрим на простом примере, как можно подсчитать ожидаемые выплаты агентов и ожидаемую прибыль продавца.

Пример 4.1. Пусть скрытые значения агентов распределены равномерно на . Тогда , , и из теоремы получается, что

А ожидаемый доход продавца — это :

Конец примера 4.1.

Математики говорят: "Theorems come and go, a good formula stays for ever" ("Теоремы приходят и уходят, хорошая формула остается навсегда"). Во время доказательства теоремы мы получили формулу для ожидаемой выплаты агента. Эта формула,

в будущем пригодится нам, разумеется, гораздо чаще, чем сама формулировка теоремы. Заметим, что формула действует только если равновесие в аукционе есть — это нужно проверять отдельно, а уже потом, если получилось, что равновесие есть, использовать эту формулу.

Два нестандартных аукциона

В качестве примеров применения теоремы эквивалентности доходности (точнее, волшебной формулы из предыдущего параграфа) рассмотрим два аукциона, которые окажутся весьма интересными и с математической, и с экономической точки зрения.

Пример 4.2. Рассмотрим аукцион, в котором платят все (по-английски такая ситуация называется all-pay auction). Здесь все агенты делают ставки, потом все платят, сколько поставили, а вещь при этом дают тому, кто заплатил больше. В таком аукционе ожидаемая выплата строго равна ставке. Поэтому если равновесие есть, оно должно быть таким:

Проверим, что это действительно равновесие (хотя бы по Нэшу). Пусть все играют по , а один агент ставит . Тогда он получит

Это мы уже видели в лекции "Принцип выявления предпочтений" , когда рассматривали аукцион первой цены. Здесь тоже применим совершенно тот же вывод, и, следовательно, здесь тоже будет достигнуто равновесие.

Конец примера 4.2.

Наверное, читатели удивляются: кто ж согласится участвовать в таком невыгодном аукционе? Однако пример есть, и недалеко от поверхности. Этот аукцион представляет собой модель лоббирования: каждая из группировок, которые хотят добиться нужного результата в парламенте, платят за лоббирование, но результат-то один! Чуть менее чистый пример — рекламные кампании: все тратят деньги, а лидирующее положение на рынке занимает одна компания (это, правда, не всегда так).

Второй пример — аукцион, при анализе которого нам потребуется немного вспомнить математическую статистику.

Пример 4.3. В аукционе третьей цены все похоже на аукционы первой и второй цены — агенты делают ставки, побеждает тот, кто поставил больше всех, но победитель платит только третью сверху ставку, а не вторую и не первую. Здесь будет много интересного из статистики, а в конце получится довольно забавный результат.

Итак, наша магическая формула подсказывает:

Игрок выигрывает, когда , и платит третью сверху цену. С учетом того, что равновесная стратегия является неубывающей функцией, выплата выигравшего игрока будет равна , где — вторая сверху внутренняя ценность из оставшегося игрока.

Теперь на время забудем об аукционах и займемся статистикой. Найдем плотность второй порядковой статистики в выборке из элементов.

Событие — это объединение двух непересекающихся событий:

• все меньше ;
• величина из меньше , но один какой-то больше .

Следовательно, для функции распределения этой случайной величины мы получим следующее выражение:

и, продифференцировав, получим плотность

Нас еще интересуют условные вероятности. Сначала — совместная вероятность; поскольку мы предполагаем, что все независимы, ее плотность просто равна произведению плотностей:

Теперь построим формулу для :

Пределы интегрирования в этом выражении описывают тот факт, что переменные с до должны оказаться меньше . А в знаменателе стоит !, потому что при подсчете интегралов мы посчитаем одни и те же события ! раз (это получается из-за того, что формула совместной вероятности не различает значения переменных , по которым идет интегрирование, друг относительно друга).

Теперь подставим формулу для совместной вероятности (с переменными) и проинтегрируем получившееся выражение. Интегрировать в данном случае — дело совсем нехитрое:

Например, при мы получим следующее выражение:

Теперь можно вывести формулу и для условной вероятности:

Найдем условную вероятность второй порядковой статистики при условии первой; для этого выпишем определение условной вероятности, а затем упростим полученное выражение:

Получив таким образом условную вероятность второй порядковой статистики, можно уже подсчитать и ожидаемую выплату:

Приравняем это выражение к тому, что дает нам полученная при доказательстве теоремы 4.1 формула:

Продифференцировав по , получим:

то есть

Так как , получается, что

Теперь продифференцируем это равенство по :

а затем выразим отсюда :

Итак, мы получили итоговую формулу оптимальной стратегии:

К сожалению, это все верно, только когда возрастает; а для этого, как видно из этой же формулы, надо, чтобы возрастало. Иначе говоря (вспомним, что — это производная , то есть — это производная ), должен быть вогнутой функцией (в такой ситуации говорят, что log-вогнута, log-concave).

А обещанный интересный эффект вот в чем. У нас получилось, что всегда строго больше , а это значит, что агенту всегда оптимально ставить строго больше, чем свое истинное значение скрытой ценности. Несколько неожиданно, но в общем вполне логично: можно ожидать, что уж третий-то сверху окажется ниже истинной стоимости.

Конец примера 4.3.