Введение в математический анализ: Информация
Автор: Елена Ардаширова
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 63 студентам
Уровень:
Для всех
Длительность:
3:57:00
Студентов:
5478
Выпускников:
1407
Качество курса:
4.40 | 4.05
Курс знакомит с числовыми множествами и числовыми последовательностями. Вводится понятие функции, её предела и непрерывности.
В начале курса даются основные понятия теории множеств, изучаются основные числовые множества, вводится понятие верхней и нижней грани. Вводится понятие числовой последовательности и её предела, изучаются вопросы сходимости. Далее даётся понятие функции, её предела в точке, в бесконечности. Изучаются свойства функций, имеющих предел. Рассматриваются бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.Вводится понятие непрерывности функции, точки разрыва, их классификация. Изучаются свойства непрерывных функций.
Темы: Математика
Специальности: Математик
Дополнительные курсы
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Действительные числа и множества
Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной верхней и нижней грани множества.
-
Числовая последовательность и ее предел
Дается определение числовой последовательности и её предела. Рассматривается геометрический смысл предела последовательности, доказываются единственность предела, арифметические свойства предела и предельные переходы в неравенствах. На примерах разбираются некоторые приёмы вычисления пределов.
-
Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е
Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также рассматриваются их свойства. Вводится число е.
-
Множества. Метод математической индукции
Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние и нижние грани множества. Решаются задачи, связанные с понятием действительного числа и его модуля. С помощью метода математической индукции доказываются некоторые утверждения.
-
Числовая последовательность и ее предел
Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том числе методами "деления на наибольшую степень" и "умножения на сопряженное". Рассматривается вопрос сходимости некоторых последовательностей.
-
Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах
Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и по Гейне и в терминах окрестностей. Доказываются теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел , о переходе к пределу в неравенствах и пределе промежуточной функции. Даётся определение предела функции в бесконечности.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов
Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и др. Доказываются арифметические свойства пределов. Вводится понятие бесконечно большой функции и устанавливается связь между б.б.ф. и б.м.ф.
-
Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями
Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций. Рассматриваются основные элементарные функции и доказывается их непрерывность на примере функции cos x. Вычисляются замечательные пределы и рассматриваются операции над непрерывными функциями. Вводится понятие сложной функции и изучается её непрерывность.
-
Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале и на отрезке. Изучаются свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о нуле функции, о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса.
-
Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О
Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие порядка и эквивалентности. Доказываются теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные и условие эквивалентности. Вводятся символы Ландау и изучаются асимптотические формулы.
-
Предел функции
Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах предела. Раскрываются неопределенности с помощью разложения на множители, деления на наибольшую степень, умножения на сопряженное выражение, введения новой переменной. Решаются задачи с использованием замечательных пределов.
-
Предел функции. Замечательные пределы
Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные.
-
Сравнение бесконечно малых функций. Асимптотические формулы
Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических формул.
-
Непрерывность, точки разрыва. Решение уравнений и неравенств
Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер. Решаются задачи о нахождении корней уравнения с помощью теоремы Больцано-Коши. Методом интервалов решаются неравенства.
-
