Комбинаторика и ряды

Введение

Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в целом ряде случаев рекуррентные соотношения довольно трудно составить, а еще труднее решить. Зачастую эти трудности удается обойти, использовав производящие функции. Поскольку понятие производящей функции связано с бесконечными степенными рядами, познакомимся с этими рядами.

Деление многочленов

Если заданы два многочлена и , то всегда существуют многочлены ( частное ) и ( остаток ), такие, что , причем степень меньше степени или . При этом называется делимым, а - делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только многочлены, но и бесконечные степенные ряды. Для получения частного надо расположить многочлены по возрастающим степеням и делить "углом", начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление на

Ясно, что процесс деления никогда не закончится ( так же, например, как при обращении числа в бесконечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бесконечный ряд . Вообще, если и - два многочлена причем свободный член многочлена отличен от нуля, , то при делении на получается бесконечный ряд

Лишь в случае, когда делится без остатка на , ряд (9.1) обрывается и мы получаем многочлен.

Алгебраические дроби и степенные ряды

При делении многочлена на многочлен мы получаем бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос: как связан этот ряд с алгебраической дробью , то есть какой смысл можно придать записи

Рассмотрим, например, разложение Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем подставлять в обе части соотношения (9.3) различные значения . Сначала положим . Тогда левая часть соотношения примет значение , а правая превратится в бесконечный числовой ряд . Так как мы не умеем складывать бесконечно много слагаемых, попробуем взять сначала одно слагаемое, потом - два, потом - три и так далее слагаемых. Мы получим такие суммы: . Ясно, что с возрастанием эти суммы приближаются к значению , которое приняла левая часть соотношения (9.3) при .

То же самое получится, если вместо подставить в обе части (9.3) число . Левая часть равенства примет значение 2, а правая превратится в бесконечный числовой ряд Беря последовательно одно, два, три, четыре, слагаемых, мы получим числа 1; ; ; ,…, . Ясно, что с возрастанием эти числа стремятся к числу 2.

Однако, если взять , то левая часть (9.3) примет значение , а в правой получим ряд Если последовательно складывать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; … Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу .

Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы их различать, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть задан бесконечный числовой ряд

Говорят, что бесконечный числовой ряд сходится к числу , если разность стремится к нулю при неограниченном увеличении . Иными словами, какое бы число мы ни указали, отклонение суммы от , начиная с некоторого номера , окажется меньше : В этом случае число называют суммой бесконечного ряда и пишут Если не существует числа , к которому сходится данный ряд (9.4), то этот ряд называют расходящимся.

Проведенное выше исследование показывает, что

в то время как ряд ... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если , то ряд сходится к , а если , то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что и что при выражение стремится к нулю, если , и к бесконечности, если . При получаем расходящиеся числовые ряды и .Итак, если , то

Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи

Она показывает, что для значений , лежащих в некоторой области, а именно при , стоящий справа ряд сходится к . Говорят, что функция при разлагается в степенной ряд .Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена на многочлен получился степенной ряд

Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях ряд (9.6) сходится к . Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны и - наименьшее из чисел , то ряд сходится в области .

Иными словами, всегда есть область , в которой выполняется равенство

В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что Отметим еще следующее важное утверждение: функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.