Параллельные методы на графах

10.4. Краткий обзор лекции

В лекции рассмотрен ряд алгоритмов для решения типовых задач обработки графов. Кроме того, приведен обзор методов разделения графа.

В подразделе 10.1 представлен алгоритм Флойда ( the Floyd algorithm ) – дается общая вычислительная схема последовательного варианта метода, обсуждаются способы его распараллеливания, проводится анализ эффективности получаемых параллельных вычислений, рассматривается программная реализация метода и приводятся результаты вычислительных экспериментов. Используемый подход к распараллеливанию алгоритма Флойда состоит в разделении вершин графа между процессорами, а необходимое при этом информационное взаимодействие состоит в передаче одной строки матрицы смежности от одного процессора всем процессорам вычислительной системы на каждой итерации метода.

В подразделе 10.2 рассматривается алгоритм Прима ( the Prim algorithm ) для решения задачи поиска минимального охватывающего дерева (остова) неориентированного взвешенного графа. Остовом графа называют связный подграф без циклов (дерево), который содержит все вершины исходного графа и ребра, имеющие минимальный суммарный вес. Для алгоритма дается общее описание его исходного последовательного варианта, определяются возможные способы его параллельного выполнения, теоретические оценки ускорения и эффективности параллельных вычислений ; также рассматриваются результаты проведенных вычислительных экспериментов. Параллельный вариант алгоритма Прима, как и в предыдущем случае, основывается на разделении вершин графа между процессорами при несколько большем объеме информационных взаимодействий – на каждой итерации алгоритма необходимой является операция сбора данных на одном процессоре и последующая рассылка номера выбранной вершины графа всем процессорам вычислительной системы.

Рассматриваемая в подразделе 10.3 задача оптимального разделения графов является важной для многих научных исследований, использующих параллельные вычисления. Для примера в подразделе приведен общий способ перехода от двумерной или трехмерной сети, моделирующей процесс вычислений, к соответствующему ей графу. Для решения задачи разбиения графов были рассмотрены геометрические методы, использующие при разделении сетей только координатную информацию об узлах сети, и комбинаторные алгоритмы, руководствующиеся смежностью вершин графа. К числу рассмотренных геометрических методов относятся покоординатное разбиение ( the coordinate nested dissection method ), рекурсивный инерционный метод деления пополам ( the recursive inertial bisection method ), деление сети с использованием кривых Пеано ( the space-filling curve techniques ). К числу рассмотренных комбинаторных алгоритмов относятся деление с учетом связности ( the levelized nested dissection ) и алгоритм Кернигана – Лина ( the Kernighan – Lin algorithm ). Для сопоставления рассмотренных подходов приводится общая сравнительная характеристика алгоритмов по времени выполнения, точности получаемого решения, возможностям для распараллеливания и т.п.

10.5. Обзор литературы

Дополнительная информация по алгоритмам Флойда и Прима может быть получена, например, в [ [ 26 ] ].

Подробное рассмотрение вопросов, связанных с проблемой разделения графов, содержится в работах [ [ 21 ] , [ 36 ] , [ 37 ] , [ 44 ] , [ 53 ] , [ 55 ] , [ 58 ] , [ 61 ] , [ 65 ] , [ 67 ] ].

Параллельные алгоритмы разделения графов рассматриваются в [ [ 20 ] , [ 38 ] , [ 44 ] , [ 48 ] , [ 49 ] , [ 65 ] , [ 74 ] ].

10.6. Контрольные вопросы

1. Приведите определение графа. Какие основные способы используются для задания графов?
2. В чем состоит задача поиска всех кратчайших путей?
3. Приведите общую схему алгоритма Флойда. Какова трудоемкость алгоритма?
4. В чем состоит способ распараллеливания алгоритма Флойда?
5. В чем заключается задача нахождения минимального охватывающего дерева? Приведите пример использования задачи на практике.
6. Приведите общую схему алгоритма Прима. Какова трудоемкость алгоритма?
7. В чем состоит способ распараллеливания алгоритма Прима?
8. В чем отличие геометрических и комбинаторных методов разделения графа? Какие методы являются более предпочтительными? Почему?
9. Приведите описание метода покоординатного разбиения и алгоритма разделения с учетом связности. Какой из этих методов является более простым для реализации?

10.7. Задачи и упражнения

1. Используя приведенный программный код, выполните реализацию параллельного алгоритма Флойда. Проведите вычислительные эксперименты. Постройте теоретические оценки с учетом параметров используемой вычислительной системы. Сравните полученные оценки с экспериментальными данными.
2. Выполните реализацию параллельного алгоритма Прима. Проведите вычислительные эксперименты. Постройте теоретические оценки с учетом параметров используемой вычислительной системы. Сравните полученные оценки с экспериментальными данными.
3. Разработайте программную реализацию алгоритма Кернигана – Лина. Дайте оценку возможности распараллеливания этого алгоритма.