Три алгоритма на графах

Задача о кратчайших путях из одного источника

Пусть G=(V,E) - ориентированный граф, для каждого ребра которого указана его (неотрицательная) длина: c(e) >= 0. Тогда длина пути p=v₁,v₂, ... , v_k+1 определяется как сумма длин ребер, входящих в этот путь: . Если в G имеется путь из вершины a в вершину b, то имеется и такой путь минимальной длины. Он называется кратчайшим путем из a в b. Конечно, в графе может оказаться несколько различных кратчайших путей из a в b.

Естественно спросить, как узнать длину кратчайшего пути из a в b и построить его? Лучшие известные на сегодняшний день алгоритмы, отвечающие на этот вопрос, решают, на самом деле, более общую задачу построения всех кратчайших путей из одного источника: по вершине a найти длины кратчайших путей из a во все достижимые из нее вершины и построить для каждой из таких вершин некоторый кратчайший путь из a. Если для каждой вершины , достижимой из a, зафиксировать один кратчайший путь из a в v, то получившийся граф будет представлять ориентированное дерево с корнем a (докажите это!). Это дерево называется деревом кратчайших путей из a.

Мы рассмотрим алгоритм построения дерева кратчайших путей и определения их длин, предложенный в 1959г. Е. Дейкстрой. Его идея следующая: перед каждым этапом известно множество отмеченных вершин S, для которых кратчайшие пути найдены ранее; тогда на очередном этапе к нему добавляется вершина w, с самым коротким путем из a, проходящим по множеству S ; после этого пересчитываются длины кратчайших путей из a в оставшиеся вершины из V \ S с учетом новой вершины w. Длина текущего кратчайшего пути из a в v, проходящего по множеству S, заносится в ячейку D[v] массива D. В конце работы в этом массиве отыскиваются длины соответствующих кратчайших путей. Для определения дерева кратчайших путей служит массив ОТЕЦ, его элемент ОТЕЦ[v] содержит ссылку на вершину, из которой кратчайший путь приходит в v .

Алгоритм Дейкстры

Вход: G=(V,E) - ориентированный граф, c(u,v) >= 0 -длина ребра (если , то считаем, что и исходная вершина .

=== ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ === 	
1.   S := {a}; ' отметить a
2.   D[a] := 0; ' расстояние от a до a
3.   ДЛЯ КАЖДОЙ   v принадлежащей V, v != a   ВЫПОЛНЯТЬ
4.      {D[v] := c(a,v);   ' расстояние от a до v через a
5.      ЕСЛИ c(a,v) < бесконечности ТО ОТЕЦ[v]:= a   ИНАЧЕ   ОТЕЦ[v]:= - };
             === ОСНОВНОЙ ЦИКЛ === 
6.   ПОКА   V \ S не пусто    ВЫПОЛНЯТЬ ' есть неотмеченные вершины
7.      { выбрать неотмеченную вершину w с минимальным D[w];
8.      S := S  объединение с {w}; ' отметить w
9.      ДЛЯ КАЖДОЙ (неотмеченной) u принадлежит V \ S   ВЫПОЛНЯТЬ
10.         ЕСЛИ   D[u] > D[w] + c(w,u)
11.            ТО   { D[u] :=  D[w] + c(w,u);
12.                  ОТЕЦ[u]:= w}
13.      }

Пример 11.3. Рассмотрим работу этого алгоритма на нагруженном графе G=(V={a, b, c, d, e, f}, E) и выделенной вершине . Зададим длины ребер матрицей C= (c_uv), где элемент c_uv=c(u,v):

Поэтапную работу алгоритма Дейкстры удобно представлять в виде таблицы, строки которой соответствуют его этапам. Первый столбец - номер этапа, второй показывает изменение множества отмеченных вершин S, третий - вершину w, добавляемую к S на текущем шаге, четвертый - длину кратчайшего пути из a в w, затем идут столбцы со значениями элементов массивов D и ОТЕЦ.

Таблица 11.1. Алгоритм Дейкстры на графе G.

N	S	w	D[w]	D					ОТЕЦ
				b	c	d	e	f	b	c	d	e	f
1.	a	c	5	25	5	30		75	a	a	a	-	a
2.	a, c	b	20	20	-	25	50	65	c	a	c	c	c
3.	a, c, b	d	25	-	-	25	50	40	c	a	c	c	b
4.	a, c, b,d	f	45	-	-	-	48	45	c	a	c	d	b
5.	a, c, b,d	e	45	-	-	-	-	45	c	a	c	d	b

Дерево кратчайших путей из вершины a задается массивом ОТЕЦ. Оно представлено на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Дерево кратчайших путей из вершины a в графе G

Теорема 11.4. (о корректности алгоритма Дейкстры)

Алгоритм Дейкстры строит дерево кратчайших путей из вершины a во все достижимые из нее вершины и для каждой такой вершины v определяет длину D[v] кратчайшего пути в нее из a.

Доказательство Докажем по индукции, что после каждого этапа алгоритма выполнены следующие условия:

• для любой вершины величина D[v] равна длине кратчайшего пути из a в v ;
• для любой вершины величина D[v] равна длине кратчайшего пути из a в v, проходящего по множеству S ;
• для каждой вершины v дерева T, задаваемого массивом ОТЕЦ, длина пути из корня a в v равна D[v].

Эти три условия очевидно выполняются после инициализации в строках 1- 5.

Предположим теперь, что они выполнены перед началом k -го этапа. Пусть w - вершина, добавляемая к S на k -ом этапе. По предположению, D[w] - длина кратчайшего пути из a в w, все вершины которого, кроме w, входят в S. Предположим, что есть другой более короткий путь p из a в w. Зафиксируем на этом пути первую вершину u, не входящую в S. По выбору p . Поэтому путь p разбивается на две непустые части: путь p₁ из a в u и путь p₂ из u в w. Но по выбору w мы имеем, что длина p₁ >= D[u] >= D[w]. Так как длина p₂ неотрицательна, то длина p >= D[w], т.е. этот путь не короче пути, представленного в дереве T. Таким образом, D[w] - это длина кратчайшего пути из a в w. Следовательно, условие (а) выполнено и после k -го этапа.

Рассмотрим теперь произвольную вершину . Кратчайший путь p из a в u, проходящий по множеству , либо не включает вершину w и в этом случае его длина равна D[u] и он имеется в текущем дереве T, либо он проходит через w и составлен из кратчайшего пути из a в w через S, продолженного ребром (w,u). В последнем случае длина пути равна D[w] + c(w,u). Но в 10-ой строке алгоритма эти величины сравниваются и, если путь через w короче, то его длина становится новым значениием D[u] (строка 11) и он фиксируется в дереве T (строка 12). Следовательно, условия (б) и (в) также выполнены после k -го этапа.

Так как после завершения алгоритма S = V, то в завершающем дереве T представлены кратчайшие пути из a во все достижимые из нее вершины, а массив D содержит длины этих путей. Значение указывает на то, что вершина u не достижима из вершины a.

Замечание о сложности. На каждом этапе (исполнении тела основного цикла в стр. 6 - 13) одна вершина добавляется во множество S. Поэтому таких этапов не более |V|. Чтобы выбрать в массиве D вершину w с минимальным D[w] (стр. 7), требуется не более |V| шагов. Перевычисление D[u] для каждой из вершин требует константного числа операций, поэтому весь цикл в стр. 9 - 12 потребует не более c |V| шагов. Отсюда получаем, что для некоторой константы c время выполнения алгоритма Дейкстры не превышает c |V|². Поскольку размер любого представления исходного графа не меньше |V|, то алгоритм работает в квадратичное время (от размера входа).