Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2895 / 123 | Оценка: 4.08 / 3.92 | Длительность: 15:40:00
ISBN: 978-5-9556-0110-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Аннотация: Множества и операции над ними. Как доказывать равенство множеств? Отношения и функции. Отношения эквивалентности и частичного порядка. Мощность множеств

Множества

Множество - это одно из основных понятий математики, как дискретной, так и непрерывной. Оно не определяется через другие понятия. Содержательно, под множеством понимается некоторая совокупность элементов. Основное отношение между элементами и множеством - это отношение принадлежности элемента множеству. Оно обозначается знаком \in: x\in A означает, что элемент x принадлежит множеству A. x\notin A означает, что элемент x не входит в множество A. A\subseteq B означает, что каждый элемент множества A является также элементом множества B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. Если A \subseteq  B и B \subseteq  A, то A=B, т.е. множества A и B равны. Если A \subseteq  B и A\ne B, то A называется собственным подмножеством множества B, и в этом случае пишем A\subset B. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается \varnothing .

Обычно множества обозначаются с помощью пары фигурных скобок, в которые заключены их элементы. Небольшие множества задаются прямым перечислением всех элементов. Например, множество простых чисел, не превосходящих 10, это {2, 3, 5, 7} ; множество (имен) летних месяцев: {июнь, июль, август}. В описаниях "больших" конечных множеств используют многоточие. В них часто указывается несколько первых элементов и последний элемент множества. Например, множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих 100, записывают как {0, 1, 2, ... , 100}, множество всех месяцев года - как { январь, февраль, ..., декабрь}. Такое задание требует определенной аккуратности. Например, если некоторое множество A задано как {3, 5, 7, ... , 19}, то не ясно, является ли A множеством нечетных чисел, лежащих в интервале от 3 до 19, или это множество простых чисел из того же интервала (возможны и другие его расшифровки). Перечисления элементов бесконечных множеств начинаются несколькими начальными элементами, а завершаются многоточием. При этом часто указывают общий вид элемента задаваемого множества. Основное бесконечное множество, рассматриваемое в дискретной математике, это множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, ... } . Множество всех квадратов этих чисел можно задать, например, так: {1, 4, 9, ..., n2, ... } .

Как мы уже отметили, большие множества не всегда можно точно определить, используя перечисление с многоточием. Основной способ их описания имеет вид: { Elem | условие на Elem}, где Elem - это общий вид элемента определяемого множества, а после вертикальной черты описано условие, которому этот элемент должен удовлетворять. Например, \{ n | (n \in  N) и (10 \le  n \le  1000)\} - это множество целых чисел в интервале от 10 до 1000, \{ n^{2} | n \in  N\} - множество квадратов натуральных чисел, \{ x \in N | x - простое \ число\} - множество всех простых чисел.

Множества, элементами которых являются другие множества, часто называют семействами или классами. Семейство ( множество ) всех подмножеств множества A обозначается через 2A, т.е. 2^{A} = \{ B | B \subseteq  A\}. Например, если A={ 0, 1, {2,3}}, то 2^{A} = \{ \varnothing , \{ 0\} , \{ 1\} ,\{ \{ 2,3\} \} ,\{ 0,1\} , \{ 0, \{ 2,3\}  \} ,\{ 1, \{ 2,3\} \} , \{ 0,1, \{ 2,3\} \}  \}, а для пустого множества \varnothing семейство его подмножеств 2^{\varnothing } =\{ \varnothing \}.

Операции над множествами

Имеется целый ряд операций, позволяющих получать одни множества из других. Рассмотрим основные из них.

Объединением множеств A и B называется множество

A \cup B =\{ x | x\in A \ или\  x \in B \}.

Объединением семейства множеств A_{i}(i\in  I) называется множество

\bigcup_{i\in I}A_i = \{ x | \textit{ существует такое }\ i_0 \in I, \ \textit{ что } x \in A_{i_0}\}.

Пересечением множеств A и B называется множество

A \cap B = \{ x| x\in A \textit{ и } x \in B\}.

Пересечением семейства множеств A_{i}(i \in  I) называется множество

\bigcap_{i\in I}A_i = \{ x| \textit{ для всякого }\ i \in I \quad x \in A_{i}\}.

Из определения операций объединения и пересечения непосредственно следует, что они обладают свойствами ассоциативности: A \cup  (B \cup  C) = (A \cup  B) \cup  C, A \cap  (B \cap  C) = (A \cap  B) \cap  C и коммутативности A \cup  B = B \cup  A, A \cap  B = B \cap  A.

Разностью множеств A и B называется множество

A \setminus B = \{ x| x\in A \textit{ и } x \not\in B\}.

Обычно все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого "универсального" множества U. Разность U \ A называется дополнением множества AU ) и обозначается через \bar{A}. Ясно, что A \cup  \overline{A} = U и A \cap  \overline{A} = \varnothing.

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

A \dot{-} B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) .

Иногда симметрическую разность множеств называют дизъюнктивной суммой и обозначают A \oplus  B или A \nabla  B.

Декартовым (прямым) произведением множеств A1, ... , An называется множество n -ок

A_1 \times \ldots \times A_n =\{ (a_1,\ldots, a_n)| a_1 \in A_1,  \dots, a_n \in A_n \}.

Если A1= ... =An=A, то A1 x ... An называется декартовой (прямой) степенью множества A и обозначается через An .

Пример1.1. Пусть заданы множества A= {0,1,... ,n} и B={0,1,... m}, где n \in  N и m \in  N - числа и n < m.

Тогда A \cup  B = B, A \cap  B = A, A \setminus  B =\varnothing , B \setminus  A = \{ n+1,\dots  , m\}, A x B = {(i,j)| 0 <= i <= n, 0 <= j <= m}.

Как доказывать равенство множеств?

Многие математические утверждения, в том числе и многие теоремы в этой книге, имеют следующую форму. Даны разные определения двух множеств A и B. Требуется доказать, что A = B.

Стандартный способ доказательства такого утверждения состоит в доказательстве двух утверждений о включениях:

  1. A \subseteq  B и
  2. B \subseteq  A.

Доказательства этих включений проводятся по такой схеме: рассматривается произвольный элемент, удовлетворяющий определению меньшего множества (слева от знака \subseteq ), и устанавливается, что он удовлетворяет также определению большего множества (справа от знака \subseteq ).

В качестве примера докажем одно из свойств (законов) дистрибутивности для операций объединения и пересечения:

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).
  1. Пусть a - произвольный элемент из A \cup  (B \cap  C). Тогда по определению операции \cup имеем a \in  A или a \in  (B \cap  C). В первом случае из того же определения выводим, что a \in  (A \cup  B) и a \in  (A \cup  C). Но тогда по определению операции \cap получаем, что a \in  (A \cup  B) \cap  (A \cup  C). Во втором случае из определения \cap следует, что a \in  B и a \in  C. Из этого и из определения \cup снова следует, что a \in  (A \cup  B) и a \in  (A \cup  C) и a \in  (A \cup  B) \cap  (A \cup  C). Таким образом, мы установили, что A \cup  (B \cap  C) \subseteq  (A \cup  B) \cap  (A \cup  C).
  2. Пусть теперь a \in  (A \cup  B) \cap  (A \cup  C). Тогда по определению операции \cap имеем a \in  (A \cup  B) и a \in  (A \cup  C). Если a \in  A, то оба эти включения выполнены. Но тогда a \in  A \cup  (B \cap  C). Если же a\notin A, то из первого включения следует, что a \in  B, а из второго - a \in  C. Следовательно, a \in  (B \cap  C) и a \in  A \cup  (B \cap  C). Таким образом, (A \cup  B) \cap  (A \cup  C) \subseteq  A \cup  (B \cap  C) и наше утверждение доказано.

Используя эту же схему, можно установить много других свойств введенных выше операций над множествами и связей между ними (см. задачи 1.2 и 1.5).

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Елена Алексеевская
Елена Алексеевская

Это в лекции 3.

Татьяна Дембелова
Татьяна Дембелова

Почему в вводной лекции курса Основы дискретной математики одним из свойств отношения частичного порядка упоминается антирефлексивность? Посмотрела в других источниках, там -0  рефлексивность... http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Иван Суслов
Иван Суслов
Россия, Москва