Булевы функции и их представления

Булевы функции и логика высказываний

Как мы уже отметили, Дж. Буль ввел булевы функции для решения логических задач. В логике под высказыванием понимают некоторое повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Логика высказываний занимается выяснением истинности тех или иных высказываний, связью между истинностью различных высказываний и т.п.

Булевы функции могут служить полезным инструментом при решении многих логических задач.

Каждую переменную можно рассматривать как некоторое элементарное высказывание, принимающее одно из двух значений: 1 (истина) или 0 (ложь). Сложным высказываниям сооответствуют формулы, построенные из элементарных высказываний с помощью логических связок. Вычисляя значения задаваемых ими функций, можно устанавливать зависимости истинностных значений сложных высказываний от значений входящих в них элементарных высказываний. Рассмотрим следующий пример.

Пример 3.1.Пусть известно, что в дорожном проишествии участвовали три автомобиля с водителями A, B и C. Свидетели проишествия дали следующие показания:

• 1-ый свидетель: если A виновен, то из остальных B и C хоть один не виновен;
• 2-ой свидетель: если C не виновен, то виновен кто-то один из пары A, B но не оба вместе;
• 3-ий свидетель: в столкновении виновны не менее двух водителей.

Опишите показания свидетелей в виде булевых формул и постройте таблицу значений их конъюнкции. Можно ли на основании этих показаний сделать вывод, что C является виновником проишествия? Можно ли однозначно определить второго виновника?

Для ответа на эти вопросы введем три переменные, соответствующие следующим высказываниям: X₁ : " виновен A ", X₂ : " виновен B " и X₃ : " виновен C ". Тогда показания 1-го свидетеля описываются формулой , показания 2-го свидетеля - , а 3-го свидетеля - . Показаниям всех трех свидетелей соответствует конъюнкция этих формул . Составим таблицы значений для функций а затем - для .

Таблица 3.5. Функция

X1	X2	X3	(X1			X2			X3))
0	0	0	0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1	0	1
0	1	0	0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	0	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	1	1	0	1	0	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1	0
1	1	0	1	1	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	1	0	0	1

Таблица 3.6. Функция

X1	X2	X3		X3		(( X1		X2)			(X1		X2)))
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	0
\ 1	0	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	0	0
1	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1

Таблица 3.7. Функция

X1	X2	X3	((X1		X2)		((X1		X3)		( X2		X3)))
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Таблица 3.8. Функция

X1	X2	X3	(\Phi1		(\Phi2		\Phi3))
0	0	0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1	1	1

Из этой таблицы следует, что на двух наборах: (X₁=0, X₂=1, X₃=1) и (X₁=1, X₂=0, X₃=1) (строки с этими наборами подчеркнуты). Поскольку в обоих случаях X₃=1 , можно сделать вывод, что С является одним из виновников проишествия. Однозначно определить второго виновника полученная от свидетелей информация не позволяет, так как в одном случае им является А, а в другом - В.

Важную роль в логике играют понятия тождественно истинной и выполнимой формулы.

Определение

Булева формула называется тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в нее переменных, т.е. функция тождественно равна 1.

Булева формула называется выполнимой, если существует такой набор значений переменных, на котором она истинна, т.е. функция равна 1 хоть на одном наборе аргументов.

Как проверить тождественную истинность или выполнимость формулы На первый взгляд кажется, что ответ прост - построим по таблицу для функции , и, если в столбце значений стоят только единицы, то заключаем, что тождественно истинна, если там есть хоть одна единица, то выполнима. К сожалению, этот способ пригоден только для формул с небольшим числом переменных. Уже для нескольких десятков и сотен переменных он не годится из-за большого размера получающейся таблицы - нетрудно подсчитать, что число 2⁹⁰ превосходит количество атомов во всей видимой вселенной.

В математической логике построены аксиоматические системы, позволяющие формализовать человеческие рассуждения о выводимости одних тождественно истинных формул из других (см., например, [15]). В некоторых случаях они позволяют доказать тождественную истинность достаточно длинных формул, имеющих регулярную структуру. Но в общем случае и они практически не применимы для произвольных формул с большим числом переменных.

В теории сложности алгоритмов имеется ряд результатов (они выходят за рамки нашего курса), которые свидетельствуют о том, что эффективных алгоритмов для проверки выполнимости или тождественной истинности произвольной булевой формулы не существует. Вместе с тем для некоторых подклассов формул эти задачи решаются достаточно эффективно. Один такой подкласс - Хорновские формулы - будет рассмотрен далее в "Хорновские формулы и задача получения продукции"