Дифференцирование

Теорема(признак монотонности функции). Для того чтобы функция f(x) была монотонной на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы f'(x) не меняла свой знак на всем промежутке. При этом, если f'(x)>0, то функция возрастает на этом промежутке, а если f'(x)<0 - то убывает. Если при этом допускается и равенство нулю производной в каких-то точках, то говорят о нестрогом возрастании или убывании.

Приведите геометрическое обоснование этого утверждения и иллюстрирующий рисунок.

Правило исследования монотонности дифференцируемой функции:

1. Найти все критические точки x_i (i=1,2,...,n), то есть точки, где производная равна нулю, или не существует, или бесконечна.
2. Исследовать знак производной f'(x) на каждом промежутке между этими точками, то есть на промежутках (x_i;x_i+1), i=1,2,...,n-1. Если f'(x)>0 на (x_i;x_i+1), то функция f(x) строго возрастает на этом интервале; если f'(x)<0, то f(x) - строго убывает; если , то f(x) - нестрого возрастает (не убывает); если , то f(x) - нестрого убывает (не возрастает).

Функция (геометрически - график функции) f(x) называется выпуклой (вогнутой) в точке x₀, если существует -окрестность, в которой все точки графика функции расположены ниже (выше - для вогнутой) касательной к кривой f(x) в точке x₀. Точки, в которых выпуклости функции меняются на вогнутости, называются точками перегиба.

Теорема(признак выпуклости или вогнутости функции). Если в каждой точке вторая производная функции f''(x)>0, то кривая y=f(x) вогнута на этом промежутке. Если в каждой точке производная f''(x)<0, то кривая y=f(x) выпукла на промежутке.

Асимптотой для графика функции y=f(x) называется прямая, которую график y=f(x) никогда не может пересечь, приближаясь неограниченно к ней.

Есть три вида асимптот: вертикальные асимптоты, уравнения которых имеют вид x=a, горизонтальные асимптоты с уравнениями y=b и наклонные асимптоты с общим уравнением прямой вида y=kx+b.

Для наклонной асимптоты параметры прямой определяются из соотношений вида

Для исследования указанных выше свойств функции f(x) используют обычно следующую (упрощенную) схему:

1. Найти область определения D(f), область изменения функции E(f).
2. Исследовать функцию на четность или нечетность (каковы оси симметрии графика функции), на периодичность (какие участки графика повторяются).
3. Найти точки разрыва (если они есть), то есть разбить область D(f) на области , в каждой из которых функция f(x) - непрерывна.
4. Найти асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).
5. Найти точки экстремума и экстремумы функции.
6. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
7. Найти интервалы выпуклости, вогнутости кривой, точки ее перегиба.
8. Найти точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют, то есть решение уравнения f(x₀)=0 (A(x₀;0) - точка пересечения с осью Ox ) и f(0)=y₀ (B(0; y₀) - точка пересечения с осью Oy ).
9. Построить график функции, используя результаты п. 1-8.

Рассмотрим теперь функцию двух переменных z=f(x,y).

Если существует конечный предел отношения приращения функции по переменной x (обозначим приращение ) к приращению аргумента, то есть

Аналогично вводится частная производная по y:

Вычисление частных производных по x и по y производится по известным для функции одной переменной правилам, причем при нахождении этой переменной считается переменная x (переменная y выполняет роль числового параметра при этом), а при нахождении этой переменной является y (переменная x при этом будет параметром).

Пример. Вычислим частные производные некоторых функций

1. Функция z=x²a+a² является функцией одной переменной x, a - параметр, поэтому ищем не частную, а обычную производную (от одной переменной): z'(x)=2ax+0=2ax.
2. Функция z=x²y+y² является функцией двух переменных x и y. Находим частные производные: , .
3. Функция двух переменных . Найдем частные производные:
   

Производные второго и далее порядка определяются как производные от производных предыдущего порядка.

Пример. Для функции можно рассматривать две производные первого порядка , и четыре производные второго порядка: z_xx=(z_x)_x=2y+0=2y, , , . Как отсюда видно, производные (z_x)_y и (z_y)_x равны. Справедливо более общее следующее утверждение.

Теорема(о равенстве смешанных производных). Смешанные производные z_xy и z_yx для любой функции z=f(x,y), у которой обе эти производные существуют, равны между собой в любой допустимой точке.

Такая теорема справедлива и относительно смешанных производных функций трех, четырех и т.д. переменных.

Пример. Для функции трех переменных u=f(x,y,z) равны, в частности, смешанные производные: u_xyy=u_yyx, u_xyz=u_yzx.

Пусть z=f(x,y) определена в области D(f).

Точка (x₀;y₀) называется точкой максимума ( минимума ) функции z=f(x,y), если существует -окрестность точки (x₀;y₀) такая, что -окрестности: f(x,y) < f(x₀,y₀) ( f(x,y) > f(x₀,y₀)). Эти точки называются точками экстремума .

Теорема(необходимое условие экстремума). Если функция двух переменных имеет экстремум в точке , то либо все ее частные производные первого порядка равны нулю, то есть , либо хотя бы одна из них не существует.

Точки функции f(x,y), в которых f_x=0, f_y=0 или же эти производные не существуют, называются критическими точками .

Если функция f(x,y) имеет экстремум, то его необходимо искать среди значений функции в критических точках.

Для нахождения критических точек нужно решить систему уравнений

Теорема(достаточное условие экстремума). Пусть (x₀;y₀) - критическая точка функции f(x,y), которая имеет вторые производные, непрерывные в -окрестности некоторой критической точки (x₀,y₀). Если , то

1. при
   
   в точке (x₀,y₀) имеем максимум;
2. при
   
   в точке имеем минимум;
3. при D(x₀,y₀) <0 - в точке (x₀,y₀) нет экстремума;
4. при D(x₀,y₀)=0 - в точке (x₀,y₀) экстремум может быть или не быть.

Если мы работаем с функцией z=f(x₁,x₂,...,x_n), то необходимое условие экстремума будет .

Иногда приходится иметь дело с экстремумом функции, который ищут среди точек x, y, удовлетворяющих одному или нескольким условиям связи вида . Такие экстремумы называются условными экстремумами или экстремумами с ограничениями.