Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 12044 / 2526 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 8:

Дифференцирование

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >

Пример. Рассмотрим некоторые применения указанных теорем (формул):

1. (\ln (x^2+\sin x))'=\frac {1}{x^2+\sin x}\cdot (x^2+\sin x)' =
\frac {2x+\cos x}{x^2+\sin x}.

2. (\log_2 \sin x)' = \frac {1}{\sin x\cdot \ln 2}\cdot (\sin x)' =
\frac {\cos x}{\ln 2\cdot \sin x}=\frac {\ctg x}{\ln 2}.

3. \ln (x\sin x^2) = \frac {1}{x\sin x^2} (x\sin x^2)' = \frac
{1}{x\sin x^2}
(\sin x^2+x\cos x^2\cdot 2x) = \frac {2x^2\cos x^2+\sin x^2}{x\sin x^2} =
\frac 1x +2x \ctg x^2.

4. y=x2ex \implies y'=2xex +x2 ex.

5. y=2^{x^2} \implies y'=2^{x^2} (x^2)' =
2x\cdot 2^{x^2}\ln 2 = 2^{x^2+1} \cdot x\ln 2.

6. esin x+cos x = esin x+cos x(sin x+cos x)' = esin x+cos x (cos x-sin x).

Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=\varphi (y) (то есть функцию с D(\varphi )=E(f), E(\varphi )=D(f)), которая в точке y\in D(\varphi ) имеет производную \varphi '(y)\ne 0, то в точке x\in D(f) функция y=f(x) имеет производную

f'(x) = \frac {1}{\varphi '(y)}.

Следствие.

  1. (\arcsin x)'=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}.
  2. (\arccos x)' = -\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}.
  3. (\arctg x)' = \frac {1}{1+x^2}.
  4. (\arcctg x)'= -\frac {1}{1+x^2}.

Пример. Рассмотрим примеры использования этих формул:

  1. \displaystyle  y=\arctg (x^2+1) \ \implies \ y'=\frac
{1}{1+x^2+1}\cdot (x^2+1)' = \frac {2x}{x^2+2}.
  2. \smu{2.7}\displaystyle y=\arccos \sqrt{x}\ \implies \ y'=-\frac
{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \frac
{1}{2\sqrt{x}} = -\frac {1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac
{1}{2\sqrt{x}} ={-}\frac {1}{2\sqrt{x-x^2}}.

Следует понять и запомнить основную таблицу дифференциального исчисления.

Таблица основных формул дифференцирования
Функция Производная
1 y=c y'=0
2 y=x^n, n\in\R y'=nxn-1
3 y=ax y'=ax ln a
4 y=loga x y'=\frac {1}{x\ln a}
5 y=sin x y'=cos x
6 y=cos x y'=-sin x
7 y=tg x y'=\frac {1}{\cos ^2x}
8 y=ctg x y'=-\frac {1}{\sin^2x}
9 y=sec x y'=\sec x\cdot \tg x
10 y=cosec x y'=-\cosec x\cdot \ctg x
11 y=arcsin x y'=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}
12 y=arccos x y'=-\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}
13 y=arctg x y'=\frac {1}{1+x^2}
14 y=arcctg x y'=-\frac {1}{1+x^2}

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x производную \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} =f'(x). Тогда, используя определение предела и бесконечно малой величины, имеем \frac {\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha, где \lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha =0. Отсюда получаем

\Delta y =f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x.

Дифференциалом функции f(x) в точке x называется главная, линейная относительно \Delta x, часть приращения функции. Обозначают дифференциал dy или df(x):

dy = f'(x)\Delta x.

Если y=f(x) дифференцируема \forall x\in X, то f'(x) - функция от x. Допустим, что опять дифференцируема, тогда (f'(x))' называется второй производной функции y=f(x) . Обозначается вторая производная y'' (читается игрек два штриха). Производная от второй производной, если она существует, называется третьей производной и т.д.

Пример. Пусть y=cos x, y'=-sin x, y''=-cos x, y'''=sin x, y^{\scriptscriptstyle\fam0 IV}=\cos x - циклически повторяемая последовательность производных функции y=cos x.

Производная функции помогает определять качественные и количественные характеристики, свойства любых функций - находить максимумы и минимумы, наибольшее и наименьшее значения, выяснять промежутки возрастания и убывания функции, выпуклости и вогнутости и т.д. Рассмотрим некоторые из них.

Функция y=f(x) имеет минимум ( максимум ) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0: \forall x\ne x_0 и в этой окрестности имеет место неравенство f(x0)<f(x) (f(x0)> f(x)). Точка x0, в которой функция имеет минимум или максимум называется точкой экстремума , а само значение f(x0) - экстремумом функции.

Точки, в которых функция может достигать экстремума, определяются следующей теоремой.

Теорема Ферма (необходимое условие существования экстремума). Для того, чтобы дифференцируемая в точке x0 функция y=f(x) имела в этой точке экстремум, необходимо, чтобы f'(x0)=0.

Точка x0, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой .

Теорема Ферма отвечает полностью на вопрос, в каких точках функция не имеет экстремум (в точках, где f'(x)\ne 0 ), но не определяет, имеется ли в данной точке x0 экстремум или нет. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема(достаточный признак экстремума по первой производной). Если x_0\in D(f) - критическая точка функции f(x) и существует такая \delta -окрестность, что слева (то есть в интервале (x_0-\delta ; x_0)) и справа от точки x0 (то есть в интервале (x_0;x_0+\delta) ) производная f'(x) имеет разные знаки, то в точке x0 функция имеет экстремум (максимум или минимум), причем:

\begin{align*}
  1)  \ \left.
 \begin{matrix}
 \forall x\in (x_0-\delta ; x_0) '\ & f'(x)>0 \cr
 \forall x\in (x_0; x_0+\delta ) '\ & f'(x)<0
 \end{matrix} \right \}\  \text{ - точка максимума}; \\
  2)  \ \left.
 \begin{matrix}
 \forall x\in (x_0-\delta ; x_0) '\ & f'(x)<0 \cr
 \forall x\in (x_0; x_0+\delta ) '\ & f'(x)>0
 \end{matrix} \right \}\  \text{ - точка минимума}.
\end{align*}

Из этих теорем следует правило 1 нахождения экстремума функции:

  1. Найти все критические точки f(x) на D(f), то есть точки xi, i=1,2,...,n (a\le x_1\le x_2\le \dotsc\le x_n\le b), в которых выполнено хотя бы одно из условий: f'(x)=0, f'(x)=\pm \infty, f'(x) не существует.
  2. Установить знаки производной f'(x) в каждом интервале (a;x1), (x1;x2), (x2;x3 ), ..., (xn;b).
  3. Если знак при переходе через точку xi (i=1,2,...,n) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке xi функция f(x) имеет максимум, а если меняет знак с минуса на плюс, то - минимум. Для определения знака в (xi;xi+1) можно взять любую контрольную точку из этого промежутка.

Теорема(достаточный признак экстремума по второй производной). Если функция f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x0 и f'(x0)=0, f''(x_0)\ne 0, то в точке x0 функция имеет экстремум, причем, если f''(x0)<0, то имеется максимум, а если f''(x0)>0, то - минимум.

Из этой теоремы следует правило 2 нахождения экстремума функции:

  1. Найти критические точки xi (i=1,2,...,n).
  2. Найти знаки f''(x_i).
  3. Если f''(x_i)>0, то в точке xi - минимум, если f''(x_i)<0, то - максимум.

Пример. Пусть y=\frac x2+\frac 2x на [-5; 5], y'=\frac 12-\frac {2}{x^2} \implies y'=\frac {x^2-4}{2x^2} y'=0 \implies x_{1{,}2}=\pm 2. Критические точки x1=-2, x2=2, x3=0 (в последней точке производная не существует). Исследуем экстремумы функции. По правилу 1 исследуем y' на интервалах: (-5; -2), (-2; 0), (0;2), (2; 5), y'(-3)>0, y'(3)>0, y'(-1)<0 и, следовательно, x=-2 - точка максимума, x=2 - точка минимума, x=0 - нет экстремума, экстремумы равны y(-2)=-2 (максимум), y(2)=2 (минимум) y(-2) =-2\to \max y(2)=2\to \min. По правилу 2 можно заключить следующее: y''= \frac {2}{x^3}, y''(-2) <0\to \max, y''(2) >0\to \min.

По теореме Вейерштрасса, функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке наибольшее и наименьшее значение. Это значение может достигаться либо в критической точке, либо на концах [a;b], то есть можно будет записать:

\begin{align*}
  & y'   _{\substack {\max} {[a,b]}} =\max
  \{\text{значения функции в критических точках}, \ y(a), \ y(b)\}, \\
  & y'   _{\gen\frac {}{}{0pt}{-1} {\min} {[a,b]}} =\max
  \{\text{значения функции в критических точках}, \ y(a), \ y(b)\}.
\end{align*}

Теорема(признак постоянства функции). Если \forall x\in X имеем f'(x)=0, то f(x)=const на всем множестве X.

Простейшим геометрическим подтверждением этой теоремы является тот факт, что если производная функции в каждой точке равна нулю, то угловой коэффициент касательной к ней в любой точке равен нулю, то есть касательная к графику в любой точке горизонтальна ( \tg\alpha =\tg0=0 ), следовательно, график самой функции - горизонтальная прямая. Постройте соответствующий рисунок.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....