Элементы линейной алгебры

Упорядоченный ряд чисел называется вектором с числовыми координатами, последовательностью чисел, одномерным массивом, линейной таблицей . Таблица чисел часто называется также матрицей из чисел, последовательностью числовых векторов, двумерным массивом .

Горизонтальные ряды называются строками , вертикальные - столбцами , число a_ij - элементом, стоящим на пересечении i -ой строки и j -го столбца.

Пример. Ряд (вектор, одномерный массив) с именем a из элементов a₁, a₂,..., a_n, скажем, ряд 1, 4, -5, 0, 6,5. Таблица (матрица, двумерный массив) с именем B: \[ B= \begin{Vmatrix} 2 & 8 & 5 \cr 9 &121& 3 \cr 23& 0 &10 \end{Vmatrix} \]

Размерность вектора определяется количеством элементов в ряде, размерность матрицы - числом строк и столбцов (обозначают размерность как \[ m \times n \] , где m - число строк, n - число столбцов матрицы).

Матрицы часто обозначают кратко одной буквой, например, матрица A, или так: \[ A=\|a_{ij} \|^{j=\overline{1,n}}_{i=\overline{1,m}}. \]

Если число строк в матрице m и число столбцов n матрицы будут равны, то она называется квадратной или матрицей порядка m(n) .

Нулевая матрица (нуль-матрица) - матрица вида \[ 0= \begin{Vmatrix} 0 & 0 & \dotsc & 0 \\ \hdotsfor{4} \\ 0 & 0 & \dotsc & 0 \end{Vmatrix} . \]

Единичная матрица (тождественная матрица) \[ E= \begin{Vmatrix} 1 & 0 & \dotsc & 0 \\ \hdotsfor{4} \\ 0 & 0 & \dotsc & 1 \end{Vmatrix}. \] Эту матрицу не следует путать с матрицей, у которой все элементы равны 1.

Главная диагональ матрицы - это диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы (от элемента с индексами [1, 1] ) в нижний правый угол, к элементу с индексами [n, n] . Побочная диагональ ведет из правого верхнего угла (от элемента [1, n] ) - в нижний левый угол (к элементу [n, 1] ).

Для того, чтобы найти (выделить) произвольный элемент a[i,j] матрицы, нужно указать оба его индекса i, j.

Матрица называется симметричной, если все элементы, расположены симметрично относительно главной диагонали, равны, то есть a_ij=a_ji .

Пример. Матрица \[ B=\begin{Vmatrix} 2 & 4 & 23 \cr 4 & 121 & 5 \cr 23 & 5 & 10 \cr \end{Vmatrix} \] является симметричной матрицей.

Пусть дана некоторая матрица A размерности m строк и n столбцов (коротко такая матрица обозначается \[ A=(m\times n) \] ): \[ A(m\times n) = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotsc & a_{2n} \\ \hdotsfor{4} \\ a_{m1} & a_{m2} & \dotsc & a_{mn} \\ \end{Vmatrix} = \|a_{ij} \|^{j=\overline{1,n}} _{i=\overline{1,m}}. \]

Если матрица B имеет только один столбец (n=1), то она называется матрицей-столбцом (вектор-столбцом): \[ B= \begin{Vmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \dotsc \\ b_m \end{Vmatrix}. \]

Если строки матрицы \[ A(n\times m) \] превратить в столбцы, а столбцы - в строки, то получим другую матрицу \[ A&(m\times n) \] , которая называется транспонированной к матрице A : \[ A&(m\times n) = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dotsc & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dotsc & a_{n2} \\[-3pt] \hdotsfor{4} \\ a_{1m} & a_{2m} & \dotsc & a_{nm} \end{Vmatrix} . \] При этом имеет место тождество: \[ (A^T)^T=A \] .

Квадратная матрица вида \[ \begin{Vmatrix} a_{11} & 0 & \dotsc & 0 \cr 0 & a_{11} & \dotsc & 0 \cr \hdotsfor{4} \cr 0 & 0 & \dotsc & a_{nn} \cr \end{Vmatrix} \] называется диагональной . Квадратная матрица \[ A(n \times n) \] называется верхней треугольной ( нижней треугольной ), если она имеет вид \[ A=\begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \cr 0 & a_{22} & \dotsc & a_{2n} \cr 0 & 0 & \dotsc & a_{nn} \cr \end{Vmatrix}, \quad \left( A=\begin{Vmatrix} a_{11} & 0 & \dotsc & 0 \cr a_{21} & a_{22} & \dotsc & 0 \cr a_{n1} & a_{n2} & \dotsc & a_{nn} \cr \end{Vmatrix} \right) . \]

Определителем матрицы порядка n или детерминантом n -го порядка называется квадратная таблица из n строк (именуемых координатными) и n столбцов (именуемых векторными): \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1j} & \dotsc & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & \dotsc & a_{2j} & \dotsc & a_{2n} \cr \hdotsfor{6} \cr a_{i1} & a_{i2} & \dotsc & a_{ij} & \dotsc & a_{in} \cr \hdotsfor{6} \cr a_{n1} & a_{n2} & \dotsc & a_{nj} & \dotsc & a_{nn} \cr \end{vmatrix} . \]

Обозначают определитель \[ A=|a_{ij}|^{j=\overline{1,n}} _{i=\overline{1,n}} \] , A= |a_ij|.

С каждым определителем A связано одно число, называемое значением определителя и обозначаемое как |A| или \[ \det(A) \] . Число A вычисляется следующим образом: берется по одному числу из каждой строки и из каждого столбца, составляются всевозможные произведения n элементов и затем из полученных n! произведений составляется алгебраическая сумма, при помощи определенным образом выбранных знаков " + " или " - " для произведений. Покажем это на примерах.

Пример. Определитель 1-го порядка A=|a₁₁|=a₁₁.

Определитель 2-го порядка \[ A= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \cr a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}. \]

Определитель 3-го порядка \[ A= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr a_{21} & a_{22} & a_{23}\cr a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \\ = a_{11}a_{22}a_{33} +a_{13}a_{21}a_{32}+ a_{12}a_{23}a_{31}- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}. \]

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, получаемый вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, причем A_ij берется со знаком (-1)^i+j .

Квадратная матрица A называется неособенной, невырожденной, если \[ \det(A)\ne 0 \] . Если же \[ \det (A)=0 \] , то матрица A называется особой, вырожденной .

Присоединенной ( союзной ) матрицей к матрице \[ A(n\times n) \] называется матрица \[ A^* \] , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов определителя транспонированной матрицы \[ \det (A&) \] , то есть \[ A^* = \begin{Vmatrix} A_{11} & A_{21} & \dotsc & A_{n1} \cr A_{12} & A_{22} & \dotsc & A_{n2} \cr A_{1n} & A_{2n} & \dotsc & A_{nn} \cr \end{Vmatrix} . \]

Пример. Если \[ A= \begin{Vmatrix} 1 & 5 \cr -1 & 3 \cr \end{Vmatrix}, \] то \[ A&= \begin{Vmatrix} 1 & -1 \cr 5 & 3 \end{Vmatrix}, \] \[ A^* = \begin{Vmatrix} 3 & 5 \cr -1 & 1 \end{Vmatrix} \] .

Две матрицы одинаковой размерности \[ A(m\times n) \] , \[ B(m\times n) \] равны, если совпадают все элементы с одинаковыми индексами: \[ A= \|a_{ij}\|, \quad B=\|b_{ij}\|, \quad A\equiv B \ \iff \ a_{ij} = b_{ij}. \]

Суммой ( разностью ) матриц \[ A(m\times n) \] , \[ B(m\times n) \] называется матрица \[ C(m\times n) = \|a_{ij}+b_{ij}\| \] .

Произведением матрицы A и числа \[ \lambda \] называется матрица \[ \lambda A=\|\lambda a_{ij}\| \] .

Пример. Пусть \[ A=\begin{Vmatrix} 2 & 0 & 1 \cr 1 & 2 & 2 \end{Vmatrix}, \] \[ B=\begin{Vmatrix} 0 & 5 & 4 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end{Vmatrix}, \] \[ \lambda =2 \] . Тогда находим сумму \[ A+\lambda B = \begin{Vmatrix} 2 & \!0 & \!1 \cr 1 & \!2 & \!2 \end{Vmatrix} + 2\cdot \begin{Vmatrix} 0 & \!5 & \!4 \cr 1 & \!0 & \!0 \end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} 2 & \!0 & \!1 \cr 1 & \!2 & \!2 \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} 0 & \!10& \!8 \cr 2 & \!0 & \!0 \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} 2 & \!10 & \!9 \cr 3 & \!2 & \!2 \end{Vmatrix} . \]

Матрица, полученная умножением числа \[ \lambda =-1 \] на матрицу A, называется противоположной к A и обозначается -A. Матрица, полученная сложением матрицы A с матрицей -B, называется разностью матриц A и B .