Основы "живого" моделирования

15.4. Сокращение "твердого" объекта

Рассмотрим взаимодействие мышцы с тем объектом, к которому она приложена. Сокращаясь, она должна увлекать клетки объекта или только его оболочку, имитируя сокращение не только мышцы, но и всего объекта.

Пусть, как и ранее, задано значение 0 <= l <= 1 , приводящее к сокращению объекта в направлении мышцы АВ (рис. 15.3). Объект должен преобразиться, как показано на рисунке пунктиром. Мышца описывается системой параметрических уравнений (15.1). М, как и прежде, — неподвижная (относительно неподвижного объекта) точка мышцы. Однако эта точка теперь определяет плоскость М, перпендикулярную мышце, относительно которой слева и справа все значащие клетки объекта должны сместиться в направлении к этой плоскости, т.е. параллельно мышце, с коэффициентом смещения (сжатия), равным l.

Рис. 15.3. Сокращение твердого тела

Плоскость М описывается уравнением

( 15.4)

Пусть точка (x_j, y_j, z_j) — текущая клетка объекта с адресом x_jy_jz_j , подлежащая указанному переносу. Найдем координаты x_j^(M), y_j^(M), z_j^(M) ее проекции на плоскость М. Так как точка с этими координатами принадлежит плоскости М и минимизирует квадрат расстояния точки (x_j, y_j, z_j) до этой плоскости, задача такой условной минимизации формулируется так:

найти значение x_j^(M), y_j^(M), z_j^(M) , удовлетворяющее требованию

(x_j^(M) - x_j )² + (y_j^(M) - y_j)² + (z_j^(M) - z_j)² -> min

при условии

(x_j^(M) - x_M)(x₁ - x_M) + (y_j^(M) - y_M)(y₁ - y_M) + (z_j^(M) - z_M)(z₁ - z_M) = 0.

Решим данную задачу, используя уравнение Лагранжа

.

Дифференцируя по всем переменным, включая и приравнивая производные нулю, получим систему линейных уравнений

(x_j^(M) - x_M)(x₁ - x_M) + (y_j^(M) - y_M)(y₁ - y_M) + (z_j^(M) - z_M)(z₁ - z_M) = 0.

Решая систему, находим

( 15.5)

Таким образом, получена мышца с началом в точке (клетке) с координатами x_j, y_j, z_j и с концом в точке x_j^(M), y_j^(M), z_j^(M) . Эта же точка является неподвижной. Тогда по (14.2) и (14.3) имитируется сжатие мышцы. Цикл по j охватывает все значащие клетки объекта.

15.5. Сокращение вязкого тела

Вязкое тело, внутри которого сокращается мышца, характеризуется "затуханием" величины смещения клетки объекта с увеличением ее расстояния до мышцы (рис. 15.4).

Найдем квадрат r² кратчайшего расстояния между произвольной текущей точкой объекта или только его оболочки x_j, y_j, z_j) и мышцей. Это расстояние определяется с помощью проекции x_j0, y_j0, z_j0) данной точки на мышцу (на рисунке — две точки, проектируемые правее А ), или ее удаленностью от концов мышцы (на рисунке — точка левее А ).

Рис. 15.4. Сокращение вязкого тела

Предполагая, что данная проекция принадлежит мышце, найдем с помощью параметрического описания (15.1) соответствующее ей значение k_min из соотношения

( 15.6)

Значение k_min, которое определяет клетку мышцы, соответствующую искомому минимальному расстоянию, вычисляется с помощью нулевого значения производной по k:

(x_j0 - x₁ - k(x₂ - x₁)(x₂ - x₁) + (y_j0 - y₁ - k(y₂ - y₁)(y₂ - y₁) + (z_j0 - z₁ - k(z₂ - z₁)(z₂ - z₁) = 0

Откуда

( 15.7)

Если выполняется условие 0 <= k_min <= 1, искомая проекция действительно принадлежит мышце. Тогда r² отыскивается в результате подстановки (15.7) в (15.6). Если k_min < 0, ближайшей точкой мышцы является А. В этом случае

r² = (x₁ - x_j)² + (y₁ - y_j)² + (z₁ - z_j)².

Если k_min > 1, ближайшей точкой мышцы является В:

r² = (x₂ - x_j)² + (y₂ - y_j)² + (z₂ - z_j)².

Чтобы определить направление переноса клетки (x_j, y_j, z_j) , необходимо по (15.5) найти ее проекцию на плоскость М. Тогда для нахождения адресов циклической пересылки значащих клеток объекта воспользуемся формулами

( 15.8)

Здесь — коэффициент вязкости и R² — заведомо большое число, ограничивающее значение r² , где смещение полностью затухает.

Перебор клеток объекта для пересылки выполняется по (15.3). Пересылка выполняется для обоих полупространств, разделяемых плоскостью М.