Комбинаторные задачи с ограничениями

Задачи с ограничением на порядок

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых на порядок элементов в комбинациях не накладывалось никаких ограничений или дополнительных условий. Либо (как в сочетаниях) порядок вообще не учитывался . Рассмотрим задачи с ограничением.

Задача 1. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену 5 львов и 4 тигра, при этом нельзя , чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей?

Обозначим львов буквой Л. Для тигров имеется 6 мест.

_____Л₁_____Л₂_____Л₃____Л₄_____Л₅______

Львов можно расположить ! Способами, то есть 120. На шести местах для тигров их можно расположить способами.

Общее число способов .

Для задачи в общем виде, если имеется: тигров и львов.

, но так как то

Это возможно лишь при условии , что

Задача 2. Строится лестница из точки в точку . Расстояние . Высота ступеньки 0,3м , ширина - 0,5м или кратное 0,5 ( рис. 8.1). Сколькими способами можно построить лестницу ?

Рис. 8.1.

Из условия видно, что лестница должна иметь , при этом имеется 10 мест , где можно устроить ступеньку: и одна крайняя.

Следовательно, надо выбрать 5 мест для ступеньки из 10: способами.

Варианты построения показаны на рис. 8.2.

Рис. 8.2.

В общем случае: если ступенек, то лестницу можно построить способами.

Эта задача похожа на предыдущую; укротитель не может ставить двух тигров, а строитель - делать ступеньки удвоенной высоты. Но есть существенное различие: все звери разные, а ступеньки одинаковые, поэтому выбор у строителя меньше.

Обобщением задачи о лестнице (лестницу зашифровать 1 и 0..... ) может быть следующее: сколькими способами можно расставить нулей и единиц , чтобы две единицы не стояли рядом.

Это можно сделать способами.

Ограничения на порядок выбора

Задача 1. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы никакие две из них не стояли рядом.

Зашифруем выбор 0 и 1: каждой оставленной книге поставим в соответствие 0, каждой выбранной - 1. Таким образом, имеем 5 единиц и 7 нулей и задача сводится к предыдущей.

В общем виде: Если стоит книг, а выбирается книг, не стоящих рядом, то это можно сделать

Задача 2. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует с соседом . Надо выбрать 5 рыцарей (например в экспедицию ,чтобы освободить заколдованную принцессу), причем так, чтобы среди них не было враждующих. ( рис. 8.3) Сколькими способами это можно сделать?

Рис. 8.3.

Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что рыцари сидят не в ряд, а по кругу. Но ее легко свести к случаю, когда рыцари сидят в ряд. Для этого возьмем рыцаря, например сэра Ланселота, и разомкнем круг. Все выбираемые комбинации распадаются на два класса: в одном участвует сэр Ланселот, в другом - нет. Подсчитаем сколько комбинаций входит в каждый класс.

1. Если сэр Ланселот отправился в поход , то его соседи справа и слева не должны участвовать. Остаются 9 рыцарей из которых надо выбрать 4. Надо проследить, чтобы среди выбранных не было врагов, то есть чтобы никакие двое не сидели рядом. Цепь разорвана следовательно:

   

2. Так как сэр Ланселот не участвует в экспедиции, то его можно исключить, остается 11 рыцарей, из которых выбирается 5.

   . По правилу суммы всего .

В общем случае, если по кругу расположены элементов, а надо выбрать так , чтобы в их число не попали два соседа , то это можно сделать способами.

Это доказывается точно так же , как и выше . Все комбинации элементов разбиваются на два класса в зависимости от одного из них (сэра Ланселота). В первом варианте будет комбинаций , а во втором . Легко проверяется , что

Доказательство:

, ч. т. д.