Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1883 / 393 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Теория множеств

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Аннотация: Приводятся начальные сведения о множествах и основные понятия подмножества, мощности, булеана. Даются возможные способы представления множеств. Рассматриваются операции над множествами, такие как объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и дополнение

Начальные сведения о множествах

Одним из основных исходных понятий математики является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Кантор дал такую трактовку: "Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью".

Понятие множества как и любое другое исходное понятие не имеет строгого математически точного описания. Можно дать следующее определение.

" Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет."

Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента m множеству M обозначается так: m \in M, где знак \in является стилизацией первой буквы греческого слова \in \sigma \tau \iota (есть, быть), знак непринадлежности - \notin.

Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается \emptyset. Например:

S - множество студентов потока 99ПС - конечное множество ;

Z - множество звезд во Вселенной - бесконечное множество ;

L - множество студентов потока 98СП, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

Множество A называют подмножеством множества B (обозначается A \subseteq B ), если всякий элемент множества A является элементом множества B: A \subseteq B \leftrightarrow 
a \in A \rightarrow a \in B ( рис. 1.1).


Рис. 1.1.

При этом говорят, что B содержит A, или B покрывает A. Невключение подмножества С в множество B обозначается так: С \not\subset В.

Множества A и B равны ( A = B ) тогда и только тогда, когда A \subseteq B, и B \subseteq A, т. е. элементы множеств A и B совпадают.

Множество A называется собственным подмножеством множества B, если A \subseteq B, а В \not\subset A. Обозначается так: A \subset B.

Например: B = \left\{ {a, b, c, d, e, f } \right\}, A = \left\{ {a, c, d} \right\}, A \subset B.

Мощностью конечного множества М называется число его элементов. Обозначается \left| М \right|. Например, \left| В \right| = 6, \left| А \right| = 3.

Принято считать, что пустое множество \emptyset является подмножеством любого множества. Множество может обладать иерархической структурой. В этом случае говорят о семействе множества или булеане.

Семейством множества М или булеаном (М) является множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества М.

Например,

М = \left\{ a, b, c \right\}, \beta (M) =  \left\{ \emptyset, \left\{ { a } \right\}, \left\{ { b } \right\}, \left\{ { c } \right\}, \left\{ { a, b } \right\},
\left\{ { a, c } \right\}, \left\{ { b, c } \right\}, \left\{ { a, b, c } \right\} \right\}. \left| M \right| =3, \left| \beta (M)  \right|= 8.

В общем случае мощность булеана \left| \beta (M)  \right|= 2^{\left| M \right|}  .

Универсальным множеством Е называется множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы списком, порождающей процедурой, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.

  1. Задание множеств списком предполагает перечисление элементов. Например, множество А состоит из букв a, b, c, d: A = \left\{ {a, b, c, d} \right\} или множество N включает цифры 0, 2, 3, 4: N = \left\{ {0, 2, 3, 4} \right\}.

    Пример: \left\{ {0, 2, 3, 4}  \right\}= \left\{ {3, 4, 2, 0} \right\} = \left\{ {4, 0, 2, 3} \right\} = ........

  2. Задание множеств порождающей процедурой или арифметическими операциями означает описание характеристических свойств элементов множества: X= \left\{ {x \mid H(x)} \right\}, т. е. множество X содержит такие элементы x, которые обладают свойством H(x).

    Например:

    • B = \left\{ { b \mid  b = \pi / 2 \pm k \pi, k \in N_0} \right\}, N_0 - множество всех натуральных чисел;
    • M_2^n = 1, 2, 4, 8, 16, ........ или M_2^n = \left\{ {m \mid m = 2^n, n \in N_0} \right\} ;
    • C = A + B = \left\{ {x \mid x = a + b, a \in A, b \in B} \right\}.
  3. Задание множества описанием свойств элементов: например, М - это множество чисел, являющихся степенями двойки.

    К описанию свойств естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Так, " множество всех хороших песен 2003 года" каждый составит по-разному. Надежным способом однозначного задания множества является использование разрешающей процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает ли он данным свойством и соответственно является ли элементом рассматриваемого множества.

    Например, S - множество успевающих студентов. Разрешающей процедурой включения в множество S является отсутствие неудовлетворительных оценок в последней сессии.

  4. Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Замкнутая линия-круг Эйлера - ограничивает множество, а рамка - универсальное пространство E ( рис. 1.2). Заданы два множества: A = \left\{ {a, b, c} \right\} и B = \left\{ {b, d, e, f} \right\}. Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.


    Рис. 1.2.
Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига