Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2. |
Теория множеств
Начальные сведения о множествах
Одним из основных исходных понятий математики является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Кантор дал такую трактовку: "Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью".
Понятие множества как и любое другое исходное понятие не имеет строгого математически точного описания. Можно дать следующее определение.
" Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет."
Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента множеству
обозначается так:
, где знак
является стилизацией первой буквы греческого слова
(есть, быть), знак непринадлежности -
.
Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается . Например:
- множество студентов потока 99ПС - конечное множество ;
- множество звезд во Вселенной - бесконечное множество ;
- множество студентов потока 98СП, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.
Множество называют подмножеством множества
(обозначается
), если всякий элемент множества
является элементом множества
:
(
рис.
1.1).
При этом говорят, что содержит
, или
покрывает
. Невключение подмножества
в множество
обозначается так:
.
Множества и
равны (
) тогда и только тогда, когда
, и
, т. е. элементы множеств
и
совпадают.
Множество называется собственным подмножеством множества
, если
, а
. Обозначается так:
.
Например: .
Мощностью конечного множества называется число его элементов. Обозначается
. Например,
,
.
Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества. Множество может обладать иерархической структурой. В этом случае говорят о семействе множества или булеане.
Семейством множества или булеаном
является множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества
.
Например,
![М = \left\{ a, b, c \right\}, \beta (M) = \left\{ \emptyset, \left\{ { a } \right\}, \left\{ { b } \right\}, \left\{ { c } \right\}, \left\{ { a, b } \right\},
\left\{ { a, c } \right\}, \left\{ { b, c } \right\}, \left\{ { a, b, c } \right\} \right\}. \left| M \right| =3, \left| \beta (M) \right|= 8.](/sites/default/files/tex_cache/69f8d46f918df0c65bca0e7eda690af3.png)
В общем случае мощность булеана .
Универсальным множеством называется множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.
Способы задания множеств
Множества могут быть заданы списком, порождающей процедурой, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.
-
Задание множеств списком предполагает перечисление элементов. Например, множество
состоит из букв
или множество
включает цифры
.
Пример:
.
-
Задание множеств порождающей процедурой или арифметическими операциями означает описание характеристических свойств элементов множества:
, т. е. множество
содержит такие элементы
, которые обладают свойством
.
Например:
-
Задание множества описанием свойств элементов: например,
- это множество чисел, являющихся степенями двойки.
К описанию свойств естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Так, " множество всех хороших песен 2003 года" каждый составит по-разному. Надежным способом однозначного задания множества является использование разрешающей процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает ли он данным свойством и соответственно является ли элементом рассматриваемого множества.
Например,
- множество успевающих студентов. Разрешающей процедурой включения в множество
является отсутствие неудовлетворительных оценок в последней сессии.
-
Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Замкнутая линия-круг Эйлера - ограничивает множество, а рамка - универсальное пространство
( рис. 1.2). Заданы два множества:
и
. Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.