Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2. |
Отношения
Основные понятия отношений
Часто в вычислениях необходимо выбирать элементы множеств, которые удовлетворяют некоторому " отношению ". Это понятие довольно общее, поэтому широко применимо. При соответствующем выборе отношения его аргументы могут быть связаны какой-либо формулой, иногда достаточно простой, если возможно найти удачное описание.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие отношения ( рис. 3.1):
Предположим, что - множество программ; - конечное множество данных; - множество результатов.
Если мы выберем конкретное значение из , то оно может использоваться в некоторых программах из и для каждой программы из существует совокупность значений из , которые в ней используются. Таким образом, мы имеем соответствие между значениями данных и программами, и, следовательно, существуют элементы , представляющие интерес. Аналогично, если мы сведем рассмотрение к , то связывает соответствующие данные из с результатами из .
Можно рассматривать данные, приводящие к остановке, или результаты, которые не могут быть получены из . Следовательно, мы приходим к подмножеству .
Определение. -местным отношением на множествах называется подмножество прямого произведения .
Другими словами, элементы (где ) связаны отношением тогда и только тогда, когда , а ( ) - упорядоченный набор из элементов.
Наиболее часто встречаются отношения при ; в этом случае они называются бинарными отношениями. Следовательно, бинарные отношения между множествами и являются просто подмножеством . Если эти множества эквивалентны (скажем, равны ), то будем говорить, что подмножество определяет отношения на .
Отношения не являются чем-то новым. Можно построить отношения, которые несомненно будут знакомы вам.
Пример 1. Пусть .
Тогда .
В явном виде
Пример 2 (шахматы). Пусть и пусть .
Таким образом, - множество всех клеток, обозначаемых парами , где .
Определим бинарное отношение для ладьи на множестве так, что тогда и только тогда, когда и - элементы и ладья может пройти от к одним ходом на пустой доске.
Напомним, что ладья может изменять либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не обе одновременно.
В общем случае ряд различных отношений на множестве зависит от . Большая часть этих отношений не представляет интереса, но отдельные оказываются полезными.
Определение 1. Для любого множества определим тождественное отношение и универсальное отношение следующим образом:
Таким образом, . Так как , то является отношением на и называется пустым отношением.
Пусть отношение определено в соответствии с изображением на рис. 3.2. Свяжем с каждым бинарным отношением между и - область определения и область значений . Они определяются следующим образом.
Определение 2. Область определения - это множество значений , таких, что пара принадлежит отношению , а область значений это множество значений , таких, что пара принадлежит отношению .
Пример 3. Пусть отношение такое же, как и в примере 1, . В явном виде .
Тогда , т. е. .
Хотя каждое отношение является множеством и может быть обозначено прописной буквой, иногда отношения обозначаются строчными греческими буквами: .
Например:
a) , т. е. находится в ;
б) связано с отношением ;
в) .
Определение 3. Пусть - бинарное отношение. Определим обратное отношение следующим образом:
Таким образом, связывает те же пары элементов, что и , но "в другом порядке". Следовательно, если , то и .
Можно писать и как .